podzielność liczb

[Monet]

Wykazać, że jeśli dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b}\) istnieje para \(\displaystyle{ (q,r)}\) liczb całkowitych taka, że \(\displaystyle{ a=bq+r}\), gdzie \(\displaystyle{ r>0}\) to istnieje też druga para \(\displaystyle{ (q_1,r_1)}\) liczb całkowitych taka, że \(\displaystyle{ a=bq_1+r_1}\) taka, że \(\displaystyle{ r_1<0}\).

Bardzo proszę o pomoc.
Pozdrawiam

[Qń]

Rozumiem, że zera nie zaliczasz do liczb naturalnych, inaczej teza nie byłaby prawdziwa.

Z aksjomatu Archimedesa istnieje \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{r}{b}<n}\). Wystarczy wtedy przyjąć \(\displaystyle{ r_1=r-bn}\) oraz \(\displaystyle{ q_1=q+n}\).

Q.