Podzielność - dowody

[Miroslav]

Proszę o pomoc (jakieś wskazówki naprowadzające na sposób rozwiązania) przy następujących zadaniach:
1. Dowieść , że dla \(\displaystyle{ n \in N}\) liczba \(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)(n+3)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\)

2. Pokazać , że \(\displaystyle{ n^5 - n}\) , gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\) , jest podzielne przez \(\displaystyle{ 30}\)

[ares41]

1.
Jest to iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych, co oznacza, że na pewno jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\).
Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste to \(\displaystyle{ n+1}\) jest nieparzyste, czyli całość dzieli się przez dwa.
Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste to \(\displaystyle{ n+1}\) jest parzyste, czyli całość dzieli się przez dwa.

\(\displaystyle{ (2|a \wedge 4|a) \Rightarrow 8|a}\)

[jackm41]

Witam

2.
\(\displaystyle{ \\
n ^{5} - n = n( n^{4} - 1 ) = n( n^{2} -1)(n ^{2} +1) = n(n-1)(n+1)( n^{2} +1)}\)
Aby liczba była podzielna przez 30, musi się dzieli zarówno przez 5, jak i 6. Widać że dzieli się przez 6, bo występuje tu iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych. Została jeszcze piątka. Dowolna liczba naturalna (jeżeli chodzi o podzielność przez 5) jest w postaci : 5k , 5k+1, 5k+2, 5k+3 lub 5k+4.
\(\displaystyle{ n=5k \\
n(n-1)(n+1)( n^{2} +1) = 5k(5k-1)(5k+1)( (5k)^{2}+1) \ \ \ (jest \ podzielna \ przez \ 5) \\
n=5k+1 \\
n(n-1)(n+1)( n^{2} +1) = (5k+1)5k(5k+2)((5k+1)^{2}+1) \ \ \ (jest \ podzielna \ przez \ 5) \\
n=5k+2 \\
n(n-1)(n+1)( n^{2} +1) = (5k+2)(5k+1)(5k+3)((5k+2)^{2}+1) = \\= (5k+2)(5k+1)(5k+3)( 25k^{2} +20k+5) \ \ \ (jest \ podzielna \ przez \ 5) \\
n=5k+3 \\
n(n-1)(n+1)( n^{2} +1) = (5k+3)(5k+2)(5k+4)((5k+3)^{2}+1)= \\ = (5k+3)(5k+2)(5k+4)(25 k^{2} +30k + 10) \ \ \ (jest \ podzielna \ przez \ 5) \\
n=5k+4 \\
n(n-1)(n+1)( n^{2} +1) = (5k+4)(5k+3)(5k+5)((5k+4)^{2}+1) \ \ \ (jest \ podzielna \ przez \ 5) \\}\)

Tak więc w każdym wypadku jest to podzielne zarówno przez 5, jak i przez 6, więc jest też podzielne przez 30.

[Mysticer]

ares41, Moim zadaniem twoje rozwiązanie do zadania 1 jest troche błędne. Ponieważ z Twojego założenia wychodzi, że liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\) to taka która dzieli się przez \(\displaystyle{ 4 \wedge 2}\) A tak niestety nie jest ponieważ przykładem jest liczba 12 która dzieli się przez \(\displaystyle{ 4 \wedge 2}\), a nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 8}\)

[Nakahed90]

ares41, Moim zadaniem twoje rozwiązanie do zadania 1 jest troche błędne. Ponieważ z Twojego założenia wychodzi, że liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\) to taka która dzieli się przez \(\displaystyle{ 4 \wedge 2}\) A tak niestety nie jest ponieważ przykładem jest liczba 12 która dzieli się przez \(\displaystyle{ 4 \wedge 2}\), a nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 8}\)

Zapis rozumownia aresa41 jest błędny, ale sama idea rozwiazania jest ok. Jemu chodzi o to, że wśród czterech kolejnych liczb naturalnych są dwie parzyste i jedna z nich jest ponadto podzielna przez 4, zatem ich iloczyn jest podzielny przez 8.

[Mysticer]

Aha tak faktycznie. Nie zauważyłem, że pokazuje on dwie liczby parzyste. Tok rozumowania byl blędny ale pomimo tego znalazl dobre rozwiązanie -- 11 lis 2010, o 12:07 --Aha tak faktycznie. Nie zauważyłem, że pokazuje on dwie liczby parzyste. Tok rozumowania byl blędny ale pomimo tego znalazl dobre rozwiązanie

[smigol]

Tok rozumowania był prawie dobry, ale przesadnie 'naukowo' chciał to zapisać w postaci implikacji i mu nie wyszło.

[Mysticer]

Ewentualnie możemy zrobić też wyłączając 24 przed nawias i otrzymamy \(\displaystyle{ 24 n^{2}}\)

[smigol]

Ewentualnie możemy zrobić też wyłączając 24 przed nawias i otrzymamy \(\displaystyle{ 24 n^{2}}\)

Chyba chodziło Ci o to, że dostaniemy, że ten iloczyn jest równy 24k, dla pewnego całkowitego k.

Możesz też udowodnić, że iloczyn \(\displaystyle{ n}\) kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(\displaystyle{ n!}\).

[Mysticer]

Zgadza się. Jest kilka rozwiązań. Szukajcie nowych