3 zadania z Matematyki dyskretnej

[kebo]

Witam prosze o jasne wytłumaczenie tych 3 zadań bo niestey nie bylo mnie na zajęciach i nie moge tego zrozumieć.

1. Znajdź wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) takie, ze liczba \(\displaystyle{ 2p-3}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
2. Znajdź wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) takie ze liczba \(\displaystyle{ 2p+1}\) jest sześcianem liczby naturalnej,
3. Udowodnij ze dla każdej \(\displaystyle{ n}\) istnieje liczba naturalna m taka ze \(\displaystyle{ n \cdot m+1}\) jest liczbą złożona.

Dziekuje za zainteresowanie i wszystkie odpowiedzi.

[SaxoN]

1. Mamy \(\displaystyle{ 2p-3=n^2}\), zatem \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą, co implikuje \(\displaystyle{ n^2\equiv 1\pmod{4}}\) i dalej \(\displaystyle{ 4|n^2+3=2p\Rightarrow 2|p}\), zatem jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ p=2}\).

2. \(\displaystyle{ 2p+1=n^3\Leftrightarrow 2p=(n-1)(n^2+n+1)}\). Mamy \(\displaystyle{ n^2+n+1\geq 3}\), zatem \(\displaystyle{ n^2+n+1\in\{p, 2p\}}\). Jeżeli \(\displaystyle{ n^2+n+1=2p}\), to \(\displaystyle{ n-1=1\Leftrightarrow n=2}\) i \(\displaystyle{ p=\frac{7}{2}}\), czyli sprzeczność . Jeżeli zaś \(\displaystyle{ n^2+n+1=p}\), to \(\displaystyle{ n=3}\) i \(\displaystyle{ p=13}\), co jest jedynym rozwiązaniem naszego równania.

3. Weźmy dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) nie dzielącą \(\displaystyle{ n}\). Liczby \(\displaystyle{ 1\cdot n, 2n,\ldots,pn}\) dają różne reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\). Istotnie, gdyby dwie liczby, powiedzmy \(\displaystyle{ kn}\) i \(\displaystyle{ jn}\) dla pewnych \(\displaystyle{ j<k}\) dawały tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ p}\) dzieliłoby ich różnicę, czyli \(\displaystyle{ p|n(j-k)}\). Ale \(\displaystyle{ p\nmid n}\) oraz \(\displaystyle{ 0<j-k<p}\), więc \(\displaystyle{ p\nmid (j-k)}\), czyli sprzeczność. Ponieważ reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ p}\), a \(\displaystyle{ p}\) liczb \(\displaystyle{ 1\cdot n, 2n,\ldots,pn}\) daje różne reszty z dzielenia, musi się znajdować taka, która daje resztę \(\displaystyle{ -1}\) (to samo co \(\displaystyle{ p-1}\)). Niech będzie to liczba \(\displaystyle{ in}\). Teraz wystarczy wziąć \(\displaystyle{ m=p+i}\). Mamy \(\displaystyle{ mn+1=(p+i)n+1\equiv in+1\equiv -1+1\equiv 0\pmod{p}}\), czyli \(\displaystyle{ p|mn+1}\) oraz w oczywisty sposób \(\displaystyle{ p\leq(p+i)=m< mn+1}\), czyli \(\displaystyle{ mn+1}\) jest złożona.

[kebo]

Jezeli mozecie to prosze o pomoc bo mam to na jtr a niestety nie moge ogarnąć tego co kolega wyżej napisał. Prosze o jasne wytłumaczenie. Jeżeli oczywiście mozecie.

1.6. Znalezc wszystkie liczby pierwsze p takie, ze p + 1 jest szescianem liczby naturalnej.
1.7. Znalezc wszystkie liczby pierwsze p takie, ze 4p − 1 jest szescianem liczby naturalnej.
1.8. Znalezc wszystkie liczby pierwsze p takie, ze 3p + 1 jest czwarta potega liczby naturalnej.
1.9. Znalezc wszystkie liczby całkowite a, b spełniajace równanie a + b = ab.

[SaxoN]

Mógłbyś na przykład napisać co dla Ciebie jest niejasne... Dla mnie są to oczywiste, wręcz schematyczne dowody. Do pozostałych zadań również mógłbym napisać, ale to może być ciężkie, skoro nie wiem ile Ty wiesz ^^

[kebo]

przypuścmy w pierwszym zadaniu co mi rozwiązałeś. nie wiem dlaczego n implikuje do n ^{2} =1 nie wiem po co uzywasz mod 4 jak tam w ogóle nie widac tego uzytego

[SaxoN]

Po pierwsze- piszemy \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{n}}\) kiedy \(\displaystyle{ n|a-b}\). Taka specyficzna "równość" (kongruencja) ma ładne własności- możemy ją dodawać, odejmować, mnożyć stronami. Teraz o tym dlaczego \(\displaystyle{ n^2\equiv 1\pmod{4}}\). To jest po prostu inny zapis \(\displaystyle{ 4|n^2-1=(n+1)(n-1)}\), co jest prawdą, ponieważ \(\displaystyle{ n+1}\) oraz \(\displaystyle{ n-1}\) są liczbami parzystymi. Później dodałem obustronnie do tej kongruencji \(\displaystyle{ 3}\), uzyskując \(\displaystyle{ n^2+3\equiv 4\equiv 0\pmod{4}}\), czyli inaczej pisząc \(\displaystyle{ 4|n^2+3}\). Dalej rozwiązanie pierwszego powinno być jasne.

[kebo]

Dzięki juz załapałem o co chodzi na koljnych ćwiczeniach było cos podobnego. Jeszcze jedno pytanie a mianowicie możecie mi pow dlaczego możemy sobie przyjąć cos takiego jak w tym zadaniu.
Udowodnic, ze dla kazdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna m taka, ze nm + 1
jest liczba złozona.
rozwiązanie:
nm+1=k*l gdzie k,l >1
nm+1=k^2 dla k należy N \(\displaystyle{ \wedge}\) k>1
nm=k^2-1
nm=(k-1)(k+1)
PRZYJMUJĄC dla dowolnego n należy N m=n+2 dostajemy n(n+2)+1=n^2+2n+1=(n+1)^2 co jest liczbą złożoną.
dlaczego tak przyjęliśmy ze m=n+2?

[SaxoN]

Masz tylko pokazać, że takie \(\displaystyle{ m}\) ISTNIEJE, więc w przebłysku geniuszu możesz wskazać liczbę i pokazać, że takie \(\displaystyle{ m}\) jest dobre.

Na prostszym przykładzie:
Wykazać, że istnieje takie \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}}\), że \(\displaystyle{ 3m}\) jest liczbą parzystą.

Dowód xD:
Weźmy \(\displaystyle{ m=2}\). Liczba \(\displaystyle{ 3m=6}\) jest parzysta, zatem teza jest spełniona.

Twoje pytanie tutaj sprowadza się do tego, dlaczego mogłem przyjąć \(\displaystyle{ m=2}\)... Wskazałem palcem tę liczbę, więc ona istnieje- ot cała historyja ^^