Udowodnij, ze ... daje przy dzieleniu przez 8 reszte 1

[Kisioj]

Udowodnij, że kwadrat liczby nieparzystej daje przy dzieleniu przez 8 resztę 1.

Wiem, że to zadanie jest łatwe, ale męczę się już pare godzin i nie potrafie go zrobić, a jutro rano pierwsze kolokwium

[rodzyn7773]

Niech k będzie naszą liczbą nieparzystą wtedy:
\(\displaystyle{ k=2n+1 \ i \ n \in N \\ k^2=4n^2+4n+1}\)
Mamy pokazać, że kwadrat k daje przy dzieleniu przez 8 resztę 1 czyli k musi być postaci:
\(\displaystyle{ k^2=8p+1 \\ 4n^2+4n+1=8p+1 \\ 4n(n+1)=8p \\ n(n+1)=2p}\)
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty bo jedna z tych liczb jest parzysta. Teraz trochę to uporządkować i zapisać formalnie.