Kongruencja-podzielność przez 512

[Patri]

Udowodnij, ze dla każdego n nieparzystego jest:

\(\displaystyle{ 512 |( n^{12} - n^{8} - n^{4} + 1)}\)

Po liczbie 512 jest pionowa kreska.

Jeśli ktoś mógłby przejść ZE MNĄ przez etapy rozwiązania tego zadania, byłabym wdzięczna, bardzo.

[SaxoN]

Powyciągaj co się da przed nawiasy i wstaw \(\displaystyle{ n=2k+1}\). Ja wyciągałem mniej więcej tak:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n^{12}-n^8-n^4+1=(n^4-1)(n^8-1)=(n^4-1)^2(n^4+1)=}\)
\(\displaystyle{ (n^2-1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)=(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)}\)

EDIT:
Później przyda się jakieś bystre spostrzeżenie, że z dwóch kolejnych liczb naturalnych jedna jest parzysta

[Patri]

SaxoN a możesz mi przybliżyć o co w ogóle chodzi w takim zadaniu?

czytałam coś w tym temacie, ale zdania typu:
modulo = stosunek zachodzący między liczbami wówczas, gdy ich różnica jest przez moduł podzielna bez reszty...
nie pomogły mi zabrać się za zadanie.

Mam rozumieć, że to w nawiasie jest podzielne przez 512 bez reszty? I dobrze rozumiem.

Ok, przed nawiasy:
\(\displaystyle{ 512 |( n^{8}( n^{4} - 1) - ( n^{4} - 1))}\)
\(\displaystyle{ 512 |( n^{8} - 1)( n^{4} - 1)}\)
\(\displaystyle{ 512 |( n^{4} - 1)( n^{4} + 1)( n^{4} - 1)}\)
\(\displaystyle{ 512 |( n^{4} - 1)^{2}( n^{4} + 1)}\)
\(\displaystyle{ 512 |(( n^{2} - 1)( n^{2} + 1))^{2}( n^{4} + 1)}\)
\(\displaystyle{ 512 |(( n - 1)(n + 1)( n^{2} + 1))^{2}( n^{4} + 1)}\)
\(\displaystyle{ 512 |( n - 1)^{2}(n + 1)^{2}( n^{2} + 1)^{2}( n^{4} + 1)}\)
\(\displaystyle{ n=2k+1}\)
\(\displaystyle{ 512 |( 2k+1 - 1)^{2}(2k+1 + 1)^{2}((2k+1)^{2} + 1)^{2}( (2k+1)^{4} + 1)}\)
\(\displaystyle{ 512 |( 2k)^{2}(2k+2)^{2}((2k+1)^{2} + 1)^{2}( (2k+1)^{4} + 1)}\)
\(\displaystyle{ 512 |(2k)^{2}(2(k+1))^{2}((2k+1)^{2} + 1)^{2}( (2k+1)^{4} + 1)}\)

\(\displaystyle{ k \cdot (k+1)}\) to iloczyn kolejnych dwóch liczb naturalnych.

ii??? iiiii niżej SaxoN wszystko wyjaśnia!

[SaxoN]

Po wstawieniu wychodzi dokładnie
\(\displaystyle{ (2k)^2(2k+2)^2(4k^2+4k+2)^2(16k^4+4\cdot 8k^3+6\cdot 4k^2+4\cdot2k+2)=}\)
\(\displaystyle{ =2^7\big(k(k+1)\big)^2(2k^2+2k+1)^2(8k^4+2\cdot 8k^3+3\cdot 4k^2+2\cdot2k+1)}\)
Ale \(\displaystyle{ k(k+1)}\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, zatem jest liczbą parzystą. Możemy zapisać \(\displaystyle{ k(k+1)=2m}\). Wtedy
\(\displaystyle{ 2^7\big(k(k+1)\big)^2(2k^2+2k+1)^2(8k^4+2\cdot 8k^3+3\cdot 4k^2+2\cdot2k+1)=}\)
\(\displaystyle{ =2^9m^2(2k^2+2k+1)^2(8k^4+2\cdot 8k^3+3\cdot 4k^2+2\cdot2k+1)=}\)
\(\displaystyle{ =512m^2(2k^2+2k+1)^2(8k^4+2\cdot 8k^3+3\cdot 4k^2+2\cdot2k+1)}\)
Co w oczywisty sposób jest podzielne przez \(\displaystyle{ 512}\).