reszta z dzielenia, nwd i nww

[mikus15]

1. Wykaż, że kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3 resztę 2, przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

2. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 168, a największy ich wspólny dzielnik równa się 24. Znajdź te liczby.

[lukasz1804]

1. Każda liczba całkowita, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 jest postaci \(\displaystyle{ 3n+2}\) dla pewnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ (3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1}\), więc kwadrat tejże liczby daje z dzielenia przez 3 resztę 1.

2. Oznaczmy szukane liczby przez \(\displaystyle{ x,y}\). Z założenia mamy \(\displaystyle{ x+y=168}\). Ponadto 24 jest wspólnym dzielnikiem liczb \(\displaystyle{ x,y}\), więc istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ m,n}\) takie, że \(\displaystyle{ x=24m, y=24n}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ m+n=7}\).
Rozpatrując teraz metodą prób i błędów 7 możliwych par liczb \(\displaystyle{ (m,n)}\) znajdziesz rozwiązanie.