Uzasadnij podzielność

boleczek · Post autor: **boleczek** » 26 wrz 2010, o 21:18

Uzasadnij, że liczba \(\displaystyle{ 5^{16}-1}\) jest podzielna przez 24.
Chciałbym poznać prostsze rozwiązania niż moje :
\(\displaystyle{ \frac{5^{16}-1}{24}= \frac{ 5^{14}*24+5^{12}*24+5^{10}*24+5^{8}*24+5^{6}*24+5^{4}*24+24}{24}=}\) \(\displaystyle{ \frac{24* \left( 5^{14}+5^{12}+5^{10}+5^{8}+5^{6}+5^{4}+1\right)}{24}=5^{14}+5^{12}+5^{10}+5^{8}+5^{6}+5^{4}+1}\)
Z doświadczenia wiem, że wybieram te najtrudniejsze drogi rozwiązania.
Z góry dzięki.
PS: III kl. gimnazjum czyli nie zrozumiem rozwiązań na poziomie studenta.
PS2: nie da się jakoś łatwo dodawać potęg o tych samych podstawach?, mnożyć na pewno się da.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 26 wrz 2010, o 21:21

Ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=...}\)

boleczek · Post autor: **boleczek** » 26 wrz 2010, o 21:35

piasek101 pisze:Ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=...}\)

Chodzi Ci o pytanie to pytanie?:
PS2: nie da się jakoś łatwo dodawać potęg o tych samych podstawach?, mnożyć na pewno się da.
Czy jest to podpowiedź do uzasadnienia ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 26 wrz 2010, o 21:37

Przecież nigdzie nie napisałem (?).
Patrz :
\(\displaystyle{ 5^{16}-1=(5^8-1)(5^8+1)=...}\)

boleczek · Post autor: **boleczek** » 26 wrz 2010, o 22:39

Dzięki za podpowiedź.
Nie wiem czy o to Tobie chodziło, ale naprowadziłeś mnie na:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 5^{2}-1\right)*\left( 5^{2}+1\right)*\left(5^{4}+1 \right)*\left( 5^{8}+1\right) }{\left( 5^{2}-1\right) }=\left( 5^{2}+1\right)*\left( 5^{4}+1\right)*\left( 5^{8}+1\right)=}\) \(\displaystyle{ \frac{5^{16}-1}{24}=5^{14}+5^{12}+5^{10}+5^{8}+5^{6}+5^{4}+1}\)
Pewnie jak zawsze utrudniłem sobie życie

smigol · Post autor: **smigol** » 26 wrz 2010, o 22:43

utrudniłem sobie życie

racja.

Masz:
\(\displaystyle{ 5^{16}-1=(5^8-1)(5^8+1)=...}\)
Bo skorzystałeś ze wzoru skróconego mnożenia, co stoi na przeszkodzie, żeby znów go użyć?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 26 wrz 2010, o 22:43

Utrudniłeś sobie o tyle, że do uzasadnienia podzielności nie trzeba wykonywać dzielenia. Rozwiązanie mogłoby być trzy razy krótsze.

JK

ps. smigol, przecież użył go kilka razy.

smigol · Post autor: **smigol** » 26 wrz 2010, o 22:55

Jan Kraszewski, no tak, racja Nie wiem o co mi chodziło o0

boleczek · Post autor: **boleczek** » 26 wrz 2010, o 23:00

Jan Kraszewski :Utrudniłeś sobie o tyle, że do uzasadnienia podzielności nie trzeba wykonywać dzielenia. Rozwiązanie mogłoby być trzy razy krótsze.

Mogę się częściowo zgodzić, ale i tak muszę doprowadzić działanie do postaci w której to 24 się skróci i wtedy wykaże, że liczba jest podzielna.
W jaki inny sposób mogę udowodnić, nie dzieląc ? zawsze mogę pomnożyć ......... przez odwrotność

smigol · Post autor: **smigol** » 26 wrz 2010, o 23:05

boleczek pisze:zawsze mogę pomnożyć ......... przez odwrotność

Zawsze możesz doprowadzić dane wyrażenie do postaci 24*(coś całkowitego).

boleczek · Post autor: **boleczek** » 26 wrz 2010, o 23:23

więc najkrótsza wersja uzasadnienia wyglądała by tak :
\(\displaystyle{ 24*\left( 5^{2}+1\right)*\left(5^{4}+1 \right)*\left( 5^{8}+1\right)}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 wrz 2010, o 09:30

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 wrz 2010, o 10:50

boleczek pisze:więc najkrótsza wersja uzasadnienia wyglądała by tak :
\(\displaystyle{ 24*\left( 5^{2}+1\right)*\left(5^{4}+1 \right)*\left( 5^{8}+1\right)}\)

Zgodnie z definicją liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) jest podzielna przez liczbę całkowitą \(\displaystyle{ b}\), gdy istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\) taka, że \(\displaystyle{ a=k\cdot b}\).

Zatem wystarczy napisać
\(\displaystyle{ 5^{16}-1=24 \cdot \left( 5^{2}+1\right)\left(5^{4}+1 \right)\left( 5^{8}+1\right)}\)

JK

boleczek · Post autor: **boleczek** » 27 wrz 2010, o 14:42

Dzięki.