Uzasadnij podzielność
- boleczek
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kalina
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Uzasadnij podzielność
Uzasadnij, że liczba \(\displaystyle{ 5^{16}-1}\) jest podzielna przez 24.
Chciałbym poznać prostsze rozwiązania niż moje :
\(\displaystyle{ \frac{5^{16}-1}{24}= \frac{ 5^{14}*24+5^{12}*24+5^{10}*24+5^{8}*24+5^{6}*24+5^{4}*24+24}{24}=}\) \(\displaystyle{ \frac{24* \left( 5^{14}+5^{12}+5^{10}+5^{8}+5^{6}+5^{4}+1\right)}{24}=5^{14}+5^{12}+5^{10}+5^{8}+5^{6}+5^{4}+1}\)
Z doświadczenia wiem, że wybieram te najtrudniejsze drogi rozwiązania.
Z góry dzięki.
PS: III kl. gimnazjum czyli nie zrozumiem rozwiązań na poziomie studenta.
PS2: nie da się jakoś łatwo dodawać potęg o tych samych podstawach?, mnożyć na pewno się da.
Chciałbym poznać prostsze rozwiązania niż moje :
\(\displaystyle{ \frac{5^{16}-1}{24}= \frac{ 5^{14}*24+5^{12}*24+5^{10}*24+5^{8}*24+5^{6}*24+5^{4}*24+24}{24}=}\) \(\displaystyle{ \frac{24* \left( 5^{14}+5^{12}+5^{10}+5^{8}+5^{6}+5^{4}+1\right)}{24}=5^{14}+5^{12}+5^{10}+5^{8}+5^{6}+5^{4}+1}\)
Z doświadczenia wiem, że wybieram te najtrudniejsze drogi rozwiązania.
Z góry dzięki.
PS: III kl. gimnazjum czyli nie zrozumiem rozwiązań na poziomie studenta.
PS2: nie da się jakoś łatwo dodawać potęg o tych samych podstawach?, mnożyć na pewno się da.
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2010, o 21:24 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
- boleczek
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kalina
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Uzasadnij podzielność
Chodzi Ci o pytanie to pytanie?:piasek101 pisze:Ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=...}\)
PS2: nie da się jakoś łatwo dodawać potęg o tych samych podstawach?, mnożyć na pewno się da.
Czy jest to podpowiedź do uzasadnienia ?
- boleczek
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kalina
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Uzasadnij podzielność
Dzięki za podpowiedź.
Nie wiem czy o to Tobie chodziło, ale naprowadziłeś mnie na:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 5^{2}-1\right)*\left( 5^{2}+1\right)*\left(5^{4}+1 \right)*\left( 5^{8}+1\right) }{\left( 5^{2}-1\right) }=\left( 5^{2}+1\right)*\left( 5^{4}+1\right)*\left( 5^{8}+1\right)=}\) \(\displaystyle{ \frac{5^{16}-1}{24}=5^{14}+5^{12}+5^{10}+5^{8}+5^{6}+5^{4}+1}\)
Pewnie jak zawsze utrudniłem sobie życie
Nie wiem czy o to Tobie chodziło, ale naprowadziłeś mnie na:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 5^{2}-1\right)*\left( 5^{2}+1\right)*\left(5^{4}+1 \right)*\left( 5^{8}+1\right) }{\left( 5^{2}-1\right) }=\left( 5^{2}+1\right)*\left( 5^{4}+1\right)*\left( 5^{8}+1\right)=}\) \(\displaystyle{ \frac{5^{16}-1}{24}=5^{14}+5^{12}+5^{10}+5^{8}+5^{6}+5^{4}+1}\)
Pewnie jak zawsze utrudniłem sobie życie
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Uzasadnij podzielność
racja.utrudniłem sobie życie
Masz:
\(\displaystyle{ 5^{16}-1=(5^8-1)(5^8+1)=...}\)
Bo skorzystałeś ze wzoru skróconego mnożenia, co stoi na przeszkodzie, żeby znów go użyć?
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Uzasadnij podzielność
Utrudniłeś sobie o tyle, że do uzasadnienia podzielności nie trzeba wykonywać dzielenia. Rozwiązanie mogłoby być trzy razy krótsze.
JK
ps. smigol, przecież użył go kilka razy.
JK
ps. smigol, przecież użył go kilka razy.
- boleczek
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kalina
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Uzasadnij podzielność
Jan Kraszewski :Utrudniłeś sobie o tyle, że do uzasadnienia podzielności nie trzeba wykonywać dzielenia. Rozwiązanie mogłoby być trzy razy krótsze.
Mogę się częściowo zgodzić, ale i tak muszę doprowadzić działanie do postaci w której to 24 się skróci i wtedy wykaże, że liczba jest podzielna.
W jaki inny sposób mogę udowodnić, nie dzieląc ? zawsze mogę pomnożyć ......... przez odwrotność
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Uzasadnij podzielność
Zawsze możesz doprowadzić dane wyrażenie do postaci 24*(coś całkowitego).boleczek pisze:zawsze mogę pomnożyć ......... przez odwrotność
- boleczek
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kalina
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Uzasadnij podzielność
więc najkrótsza wersja uzasadnienia wyglądała by tak :
\(\displaystyle{ 24*\left( 5^{2}+1\right)*\left(5^{4}+1 \right)*\left( 5^{8}+1\right)}\)
\(\displaystyle{ 24*\left( 5^{2}+1\right)*\left(5^{4}+1 \right)*\left( 5^{8}+1\right)}\)
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Uzasadnij podzielność
Zgodnie z definicją liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) jest podzielna przez liczbę całkowitą \(\displaystyle{ b}\), gdy istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\) taka, że \(\displaystyle{ a=k\cdot b}\).boleczek pisze:więc najkrótsza wersja uzasadnienia wyglądała by tak :
\(\displaystyle{ 24*\left( 5^{2}+1\right)*\left(5^{4}+1 \right)*\left( 5^{8}+1\right)}\)
Zatem wystarczy napisać
\(\displaystyle{ 5^{16}-1=24 \cdot \left( 5^{2}+1\right)\left(5^{4}+1 \right)\left( 5^{8}+1\right)}\)
JK