Cześć,
Zrobiłem sporo zadań z podstaw algebry ale tego jednego nie mogę rozwiązać. Zrobiłem kilka przykładów na liczbach mniejszych ale ponieważ nie znam algorytmu - to prawdopodobnie z analizy numerologicznej wychodziły mi rozwiązania - w tym przypadku niestety nie działają.
Znajdź \(\displaystyle{ m, n \mathbb{Z} : 381m+84n=3}\)
Niby proste - wyszukać takie dwie liczby całkowite, których suma po przemnożeniu odpowiednio przez 381 i 84 wynosi 3. Jednak nie znając algorytmu nie mogę tego rozwiązać.
Mogę prosić o jakieś sugestie?
Laik
Znajdź liczby całkowite m i n spełniające równanie
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Znajdź liczby całkowite m i n spełniające równanie
Widzimy, że lewa i prawa strona jest podzielna przez 3. Dzieląc więc przez 3 otrzymujemy \(\displaystyle{ 127m+28n=1}\). Skorzystajmy teraz z algorytmu Euklidesa, alby obliczyć \(\displaystyle{ NWD(127,28)}\). Dokładniej chodzi o to, by dojść do reszty równej 1.
\(\displaystyle{ 127=4 28+15 \\ 28=1 15+13 \\ 15=1 13+2 \\ 13=6 2 +1}\)
Teraz widzimy, że \(\displaystyle{ 1=13 - 6 2}\). Będziemy kolejne reszty zastępować różnicami liczb ( np. \(\displaystyle{ 2=15- 1 13}\)), aby otrzymać przykładowe całkowite m, n spełniające równanie).
\(\displaystyle{ 1=13 - 6 2=13 - 6(15 - 1 13)=13 +6 13 - 6 15=7 13 - 6 15=7(28 - 1 15) -6 15= 7 \cdt 28 -7 15 -6 15=7 28 - 13 15=7 28 - 13( 127 - 4 28)=7 28-13 127 + 52 28=-13 127 +59 28}\)
Czyli \(\displaystyle{ 127 (-13) + 28 59=1}\). Otrzymaliśmy więc przykładowe rozwiązanie tego równania diofantycznego stopnia pierwszego, tj \(\displaystyle{ m_{0}=-13, n_{0}=59}\).
Algorytm rozwiązania ogólnego jest taki:
Jeżeli mamy równanie \(\displaystyle{ ax+by=c}\) to dochodzimy do rozwiązań szczegółowych \(\displaystyle{ x_{0},y_{0}}\). Liczymy \(\displaystyle{ NWD(a,b)=d}\). Wtedy \(\displaystyle{ a_{1}=\frac{a}{d}, b_{1}=\frac{b}{d}}\) i rozwiązaniem ogólnym jest:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x=x_{0}+b_{1}t \\ y=y_{0}-a_{1}t \end{array} , t \mathbb{ Z}}\)
Czyli w naszym przypadku rozwiązaniem ogólnym będzie układ:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} m=-13+28t \\ n=59-127t \end{array} , t \mathbb{Z}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) - zbiór liczb całkowitych.
\(\displaystyle{ 127=4 28+15 \\ 28=1 15+13 \\ 15=1 13+2 \\ 13=6 2 +1}\)
Teraz widzimy, że \(\displaystyle{ 1=13 - 6 2}\). Będziemy kolejne reszty zastępować różnicami liczb ( np. \(\displaystyle{ 2=15- 1 13}\)), aby otrzymać przykładowe całkowite m, n spełniające równanie).
\(\displaystyle{ 1=13 - 6 2=13 - 6(15 - 1 13)=13 +6 13 - 6 15=7 13 - 6 15=7(28 - 1 15) -6 15= 7 \cdt 28 -7 15 -6 15=7 28 - 13 15=7 28 - 13( 127 - 4 28)=7 28-13 127 + 52 28=-13 127 +59 28}\)
Czyli \(\displaystyle{ 127 (-13) + 28 59=1}\). Otrzymaliśmy więc przykładowe rozwiązanie tego równania diofantycznego stopnia pierwszego, tj \(\displaystyle{ m_{0}=-13, n_{0}=59}\).
Algorytm rozwiązania ogólnego jest taki:
Jeżeli mamy równanie \(\displaystyle{ ax+by=c}\) to dochodzimy do rozwiązań szczegółowych \(\displaystyle{ x_{0},y_{0}}\). Liczymy \(\displaystyle{ NWD(a,b)=d}\). Wtedy \(\displaystyle{ a_{1}=\frac{a}{d}, b_{1}=\frac{b}{d}}\) i rozwiązaniem ogólnym jest:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x=x_{0}+b_{1}t \\ y=y_{0}-a_{1}t \end{array} , t \mathbb{ Z}}\)
Czyli w naszym przypadku rozwiązaniem ogólnym będzie układ:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} m=-13+28t \\ n=59-127t \end{array} , t \mathbb{Z}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) - zbiór liczb całkowitych.
-
laikonik
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 9 lis 2006, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Znajdź liczby całkowite m i n spełniające równanie
Wyjaśnienie jak dla dziecka, chodziło mi tylko o sugestię. Ale skoro jest - to inni też skorzystają. Bardzo dziękuję za wyczerpującą odpowiedź.
Pozdrawiam
Laik
Pozdrawiam
Laik