Suma dwóch ułamków

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
chlorofil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 548
Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 96 razy

Suma dwóch ułamków

Post autor: chlorofil »

Jak pokazać, że nie istnieją takie liczby całkowite k i l spełniające warunek:

\(\displaystyle{ \frac{k}{l} \not\in C}\) i \(\displaystyle{ \frac{l}{k} \not\in C}\)

i jednocześnie takie, że:

\(\displaystyle{ \frac{k}{l} + \frac{l}{k} \in C}\)

?
silvaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1300
Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 123 razy

Suma dwóch ułamków

Post autor: silvaran »

Czyli rozumiem, że należy wykazać iż (jeśli C oznacza zbiór liczb całkowitych):
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k,l\in C} \left( \frac{k}{l} \not\in C \wedge \frac{l}{k} \not\in C\right) \Rightarrow \frac{k}{l} + \frac{l}{k} \not\in C}\)

?
chlorofil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 548
Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 96 razy

Suma dwóch ułamków

Post autor: chlorofil »

Tak, dokładnie to chciałbym wykazać.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Suma dwóch ułamków

Post autor: »

Szkic:
Oczywiście można przyjąć, że \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ k}\) są względnie pierwsze. Gdyby było:
\(\displaystyle{ \frac{k}{l}+\frac{l}{k}=n}\)
czyli
\(\displaystyle{ k^2+l^2=nkl}\)
to musiałoby by być \(\displaystyle{ k|l^2}\), co jest niemożliwe.

Q.
ODPOWIEDZ