Wybranie 3 liczb naturalnych z 5

[Marian517]

Czy spośród 5 dowolnych różnych liczb naturalnych można zawsze wybrać takie 3 liczby, że \(\displaystyle{ a _{1}}\), \(\displaystyle{ a _{2}}\), \(\displaystyle{ a _{3}}\), takie że \(\displaystyle{ a _{1}}\), \(\displaystyle{ a _{2}}\), \(\displaystyle{ a _{3}}\), \(\displaystyle{ a _{1}+a_{2}}\), \(\displaystyle{ a_{1}+a_{3}}\), \(\displaystyle{ a_{2}+a_{3}}\), \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}}\) są parami różne?

[Inkwizytor]

Pod warunkiem że albo ZERA nie zaliczamy do zbioru liczb naturalnych, albo jeśli zaliczamy to nie ma go wśród wybranej piątki liczb

[Lorek]

Noo skoro z 5 różnych wybieramy 3 to zawsze można tak wybrać by nie było zera

[Inkwizytor]

Noo skoro z 5 różnych wybieramy 3 to zawsze można tak wybrać by nie było zera

No właśnie to miałem na mysli ale nie wiem czemu napisałem pięć... za dużo tych wyborów

[Marian517]

A można to jakoś udowodnić?

[Inkwizytor]

Jaki warunek musi być spełniony by:
\(\displaystyle{ a _{1}+a_{2} = a_{1}+a_{3}}\) ?
i dlaczego jest to niemożliwe w kontekście wszystkiego co jest napisane wcześniej?

Nastepnie rozpatrz wszystkie takie pary.

[abc666]

No jeszcze trzeba pokazać, że da się zawsze tak wybrać by
\(\displaystyle{ a_1+a_2\neq a_3\\
a_2+a_3\neq a_1\\
a_3+a_1\neq a_2}\)

[SaxoN]

Ale to na szczęście jest banalne po rozważeniu największej \(\displaystyle{ a_i}\).

[Inkwizytor]

No jeszcze trzeba pokazać, że da się zawsze tak wybrać by
\(\displaystyle{ a_1+a_2\neq a_3\\
a_2+a_3\neq a_1\\
a_3+a_1\neq a_2}\)

Po co wszystkie trzy? Wystarczy bez straty ogólności (wybieramy spośród dowolnych 5 różnych liczb naturalnych) wprowadzić zasadę, iż wybrane trzy elementy spełniają: \(\displaystyle{ 0<a_1 < a_2 <a_3}\) wówczas zostaje tylko jedno z tych do uzasadnienia.

[abc666]

No ale to trzeba wszystko napisać, że tak jest. A zasady nie trzeba wprowadzać bo liczby są różne więc zawsze można je tak uporządkować.