kwadrat liczby
-
miodek1
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 7 wrz 2010, o 07:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: niby warszawa
- Podziękował: 8 razy
kwadrat liczby
Znaleźć wszystkie liczby naturalne x i y takie że \(\displaystyle{ x^2 + 5y}\) oraz \(\displaystyle{ y^2 + 5x}\) oba są kwadratami liczb
-
marcinz
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
kwadrat liczby
Pierwsza uwaga jest taka, że jeśli para \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) spełnia warunki zadania, to spełnia je również para \(\displaystyle{ (y_0,x_0)}\). Zatem rozwiązując zadanie możemy założyć, że \(\displaystyle{ x \ge y}\) (pozostałe pary uzyskamy w wiadomy sposób). Nie wiem czy 0 też uważasz za liczbę naturalną, ale nawet jeśli tak to nie jest trudny przypadek. Gdy \(\displaystyle{ y > 0}\) mamy następujące oszacowania:
\(\displaystyle{ x^2 < x^2 + 5y < x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ x^2 + 5y = (x+1)^2}\) albo \(\displaystyle{ x^2 + 5y = (x+2)^2}\) (albo para \(\displaystyle{ (x,y)}\) nie jest rozwiązaniem zadania). Rozważmy przypadek \(\displaystyle{ x^2 +5y = (x+1)^2}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ 5y=2x+1, x=\frac{5y-1}{2}}\). Liczba \(\displaystyle{ y^2 + 5 x}\) też ma być kwadratem, z ostatniej równości \(\displaystyle{ y^2 + 5 x = y^2 +\frac{25}{2} y - \frac{5}{2}}\). Sprawdźmy, że dla prawie wszystkich y mamy nierówności: \(\displaystyle{ (y+5)^2 < y^2 +\frac{25}{2} y - \frac{5}{2} < (y+7)^2}\). Istotnie, są one równoważne z nierównościami \(\displaystyle{ 25 < \frac{5}{2} y - \frac{5}{2}, -\frac{5}{2} < \frac{3}{2} y + 49}\). Skoro y jest liczbą naturalną to druga jest zawsze spełniona, a pierwsza to \(\displaystyle{ y > 11}\). Czyli jeśli \(\displaystyle{ y > 11}\) to w tym przypadku (\(\displaystyle{ x^2 +5y = (x+1)^2}\)) mamy równość \(\displaystyle{ y^2 +\frac{25}{2} y - \frac{5}{2}=(y+6)^2}\), z niej dostajemy \(\displaystyle{ y=77}\)\(\displaystyle{ }\), z wyjściowego warunku \(\displaystyle{ x=\frac{5*77-1}{2}=192}\). Nietrudno sprawdzić, że para \(\displaystyle{ x=192, y=77}\) spełnia warunki zadania. Gdy \(\displaystyle{ y \le 11}\) to sprawdzamy ręcznie. Drugiego przypadku nie chciało mi się rozpisywać, ale zapewne wyjdzie analogicznie.
\(\displaystyle{ x^2 < x^2 + 5y < x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ x^2 + 5y = (x+1)^2}\) albo \(\displaystyle{ x^2 + 5y = (x+2)^2}\) (albo para \(\displaystyle{ (x,y)}\) nie jest rozwiązaniem zadania). Rozważmy przypadek \(\displaystyle{ x^2 +5y = (x+1)^2}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ 5y=2x+1, x=\frac{5y-1}{2}}\). Liczba \(\displaystyle{ y^2 + 5 x}\) też ma być kwadratem, z ostatniej równości \(\displaystyle{ y^2 + 5 x = y^2 +\frac{25}{2} y - \frac{5}{2}}\). Sprawdźmy, że dla prawie wszystkich y mamy nierówności: \(\displaystyle{ (y+5)^2 < y^2 +\frac{25}{2} y - \frac{5}{2} < (y+7)^2}\). Istotnie, są one równoważne z nierównościami \(\displaystyle{ 25 < \frac{5}{2} y - \frac{5}{2}, -\frac{5}{2} < \frac{3}{2} y + 49}\). Skoro y jest liczbą naturalną to druga jest zawsze spełniona, a pierwsza to \(\displaystyle{ y > 11}\). Czyli jeśli \(\displaystyle{ y > 11}\) to w tym przypadku (\(\displaystyle{ x^2 +5y = (x+1)^2}\)) mamy równość \(\displaystyle{ y^2 +\frac{25}{2} y - \frac{5}{2}=(y+6)^2}\), z niej dostajemy \(\displaystyle{ y=77}\)\(\displaystyle{ }\), z wyjściowego warunku \(\displaystyle{ x=\frac{5*77-1}{2}=192}\). Nietrudno sprawdzić, że para \(\displaystyle{ x=192, y=77}\) spełnia warunki zadania. Gdy \(\displaystyle{ y \le 11}\) to sprawdzamy ręcznie. Drugiego przypadku nie chciało mi się rozpisywać, ale zapewne wyjdzie analogicznie.