Niewymierność liczby niewymiernej pomniejszonej o jeden
Niewymierność liczby niewymiernej pomniejszonej o jeden
Wykaż, że jeżeli x jest liczbą niewymierną, to liczba o 1 od niej mniejsza też jest liczbą niewymierną.
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2010, o 16:37 przez Althorion, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm Temat umieszczony w złym dziale.
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Niewymierność liczby niewymiernej pomniejszonej o jeden
Dowodzę nie wprost.
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie liczbą niewymierną, a \(\displaystyle{ x-1}\) - liczbą wymierną. Można ją więc przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = x-1, \quad a,b \in \mathbb{Z}}\)
Ale wtedy można by przekształcić to tak:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} - 1 = x \\ \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = x \\ \frac{a-b}{b} = x}\)
W związku z czym \(\displaystyle{ x}\) byłoby też liczbą wymierną, otrzymujemy więc sprzeczność, co kończy dowód.
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie liczbą niewymierną, a \(\displaystyle{ x-1}\) - liczbą wymierną. Można ją więc przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = x-1, \quad a,b \in \mathbb{Z}}\)
Ale wtedy można by przekształcić to tak:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} - 1 = x \\ \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = x \\ \frac{a-b}{b} = x}\)
W związku z czym \(\displaystyle{ x}\) byłoby też liczbą wymierną, otrzymujemy więc sprzeczność, co kończy dowód.