Niewymierność liczby niewymiernej pomniejszonej o jeden

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Alison
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 20 lut 2009, o 15:04
Płeć: Kobieta
Podziękował: 4 razy

Niewymierność liczby niewymiernej pomniejszonej o jeden

Post autor: Alison »

Wykaż, że jeżeli x jest liczbą niewymierną, to liczba o 1 od niej mniejsza też jest liczbą niewymierną.
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2010, o 16:37 przez Althorion, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Niewymierność liczby niewymiernej pomniejszonej o jeden

Post autor: Althorion »

Dowodzę nie wprost.
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie liczbą niewymierną, a \(\displaystyle{ x-1}\) - liczbą wymierną. Można ją więc przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = x-1, \quad a,b \in \mathbb{Z}}\)
Ale wtedy można by przekształcić to tak:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} - 1 = x \\ \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = x \\ \frac{a-b}{b} = x}\)
W związku z czym \(\displaystyle{ x}\) byłoby też liczbą wymierną, otrzymujemy więc sprzeczność, co kończy dowód.
ODPOWIEDZ