Trudne zadanie z NWD i dowodem

[sprawdziany44]

Mam takie zadanko i prosze o rozwiazanie:

Liczby naturalne x,y,z spełniają równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}= \frac{1}{z}}\), przy czym NWD(x,y)=1. Wykaż, że x+y jest kwadratem liczby naturalnej

[alladyn]

mamy rozumieć że x,y,z to liczby całkowite ?? bo z tego że NWD(x,y)=1 wynika tylko że x i y są całkowite

[sprawdziany44]

sorry zapomnialem napisac oczywiscie naturalne sa te liczby

[Doktor]

doszedłem do takiej postaci ale nie bardzo wiem co dalej ;P :
\(\displaystyle{ \frac {xy}{z} = y+x}\) ,
edit :
wiemy przynajmniej ze conajmniej jedna z nich nie jest liczbą pierwszą ;P

[Tristan]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}=\frac{1}{z} \\ \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{z} \\ zx+zy=xy \\ xy-yz-zx=0 \\ xy - yz -zx+z^2=z^2 \\ y(x-z) -z(x-z)=z^2 \\ (x-z)(y-z)=z^2}\)
Już z pierwszego równania wynika, że \(\displaystyle{ x>z, y>z}\), więc liczby \(\displaystyle{ x-z}\)i \(\displaystyle{ y-z}\) są naturalne.
Zastanówmy się, do czego zmierzamy. Jeśli wykażemy, że liczby \(\displaystyle{ x-z}\) i \(\displaystyle{ y-z}\) są względnie pierwsze, to obydwie będą kwadratami liczb naturalnych. Wtedy \(\displaystyle{ x-z=a^2, y-z=b^2}\) dla \(\displaystyle{ a,b \mathbb{N}}\). Czyli \(\displaystyle{ z=ab}\). A więc suma \(\displaystyle{ x+y=(a^2 +z)+(b^2 +z)=a^2 +ab+b^2 +ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}\).

Wykażmy więc, że \(\displaystyle{ NWD(x-z, y-z)=1}\) a nasz dowód zostanie zakończony.
Założmy przeciwnie, że istnieje taka liczba pierwsza p, która dzieli liczby x-z i y-z. Z równania \(\displaystyle{ (x-z)(y-z)=z^2}\) wynika, że \(\displaystyle{ p | z^2}\). Czyli \(\displaystyle{ p | z}\).
Skoro \(\displaystyle{ p| x-z p| z}\), to \(\displaystyle{ p| (x-z)+z=x}\). Analogicznie dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ p | y}\). Jednak z założenia postawionego w zadaniu liczby x i y są względnie pierwsze. Otrzymaliśmy więc sprzeczność z tym, że liczby \(\displaystyle{ x-z, y-z}\) nie są względnie pierwsze. Istotnie więc \(\displaystyle{ NWD(x-z, y-z)=1}\) co kończy dowód.

[sprawdziany44]

dziekuje bardzo