wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 16 sty 2010, o 19:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
Wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych
\(\displaystyle{ x^2-33y^2=-1}\)
z tego wynika, ze \(\displaystyle{ 1=33y^2-x^2=( \sqrt{33}y-x)( \sqrt{33}y+x)}\)
żeby bylo spełnione wartości w nawiasach muszą być równe: \(\displaystyle{ (-1)(-1)}\) albo \(\displaystyle{ (1)(1)}\) a to nigdy się nie stanie, gdyż np \(\displaystyle{ \sqrt{33}=1+x}\) nigdy nie da rozwiązania \(\displaystyle{ x}\) całkowitego, bo \(\displaystyle{ \sqrt{33}}\) nie jest liczbą całkowitą. to samo dzieje się w pozostałych przypadkach.
Czy jest poprawne rozumowanie?
\(\displaystyle{ x^2-33y^2=-1}\)
z tego wynika, ze \(\displaystyle{ 1=33y^2-x^2=( \sqrt{33}y-x)( \sqrt{33}y+x)}\)
żeby bylo spełnione wartości w nawiasach muszą być równe: \(\displaystyle{ (-1)(-1)}\) albo \(\displaystyle{ (1)(1)}\) a to nigdy się nie stanie, gdyż np \(\displaystyle{ \sqrt{33}=1+x}\) nigdy nie da rozwiązania \(\displaystyle{ x}\) całkowitego, bo \(\displaystyle{ \sqrt{33}}\) nie jest liczbą całkowitą. to samo dzieje się w pozostałych przypadkach.
Czy jest poprawne rozumowanie?
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2010, o 18:09 przez roseraphina, łącznie zmieniany 1 raz.
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
To nie jest prawda.roseraphina pisze: żeby bylo spełnione wartości w nawiasach muszą być równe: \(\displaystyle{ (-1)(-1)}\) albo \(\displaystyle{ (1)(1)}\)
Bo np. \(\displaystyle{ 1= \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}\)
Gdybyś wiedziała, że 1=ab, gdzie a i b są liczbami całkowitymi to wtedy (a,b)=(1,1) lub (a,b)=(-1,-1)
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 16 sty 2010, o 19:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
Dziękuję.
założyłam tak, bo wtedy ładnie wyszło. Nie wiem, czy 1=ab i jak wyglądają a,b. Może tropem jest to, że \(\displaystyle{ \sqrt{33}}\) ma nieskończone rozwinięcie? Proszę o jakieś wskazówki.
założyłam tak, bo wtedy ładnie wyszło. Nie wiem, czy 1=ab i jak wyglądają a,b. Może tropem jest to, że \(\displaystyle{ \sqrt{33}}\) ma nieskończone rozwinięcie? Proszę o jakieś wskazówki.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 16 sty 2010, o 19:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
oj, przepraszam, już jest \(\displaystyle{ y}\).
\(\displaystyle{ 5 \le \sqrt{33} \le 6}\) może się przyda?
bo gdyby było to rozwiązanie calkowite, to wobec nieskończonego rozwinięcia pierwiastka mielibyśmy w każdym z nawiasów liczbę o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, których iloczyn... nie dałby nam 1?
\(\displaystyle{ 5 \le \sqrt{33} \le 6}\) może się przyda?
bo gdyby było to rozwiązanie calkowite, to wobec nieskończonego rozwinięcia pierwiastka mielibyśmy w każdym z nawiasów liczbę o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, których iloczyn... nie dałby nam 1?
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
Równanie jest równoważne: \(\displaystyle{ x^2+1=33y^2}\). Spójrz na podzielność przez 11.
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2010, o 18:21 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 16 sty 2010, o 19:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
Tak! Dziękuję. Prawa strona równania jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) zatem i lewa musi być. Czyli liczba postaci \(\displaystyle{ x^2+1}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\).
Znalazłam cechę podzielności liczby przez \(\displaystyle{ 11}\) taką, że jeżeli różnica między sumą jej cyfr znajdujących się na miejscach nieparzystych a sumą jej cyfr znajdujących się na miejscach parzystych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), to liczba ta jet podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\). Także, że liczba postaci \(\displaystyle{ 10^n+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą.
W naszym przypadku nie znam cyfr tej liczby, ani też nie wiem, czy \(\displaystyle{ x=10}\), a nawet jeżeli to\(\displaystyle{ n}\) nie jest nieparzyste. Znowu się zacinam...
Znalazłam cechę podzielności liczby przez \(\displaystyle{ 11}\) taką, że jeżeli różnica między sumą jej cyfr znajdujących się na miejscach nieparzystych a sumą jej cyfr znajdujących się na miejscach parzystych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), to liczba ta jet podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\). Także, że liczba postaci \(\displaystyle{ 10^n+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą.
W naszym przypadku nie znam cyfr tej liczby, ani też nie wiem, czy \(\displaystyle{ x=10}\), a nawet jeżeli to\(\displaystyle{ n}\) nie jest nieparzyste. Znowu się zacinam...
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
Żeby liczba postaci \(\displaystyle{ x^2 + 1}\) dzieliła się przez jedenaście, to \(\displaystyle{ x^2}\) musi przy dzieleniu dawać resztę dziesięć. Tak jednak się nie stanie (dlaczego?).
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
a może sprawdzić podzielność przez 3? \(\displaystyle{ x^2+1=33y^2}\). prawa się dzieli, lewa daje resztę 1 lub 2.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 16 sty 2010, o 19:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
już wiem.
otóż: żeby \(\displaystyle{ x^2+1}\) było podzielne przez 11 to musi \(\displaystyle{ 11|x^2+1}\)
czyli \(\displaystyle{ 11|x^2-(-1)}\)
czyli \(\displaystyle{ x^2\equiv(-1)(mod 11)}\)
czyli \(\displaystyle{ x^2\equiv10(mod 11)}\)
a rozwiązanie istnieje, gdy \(\displaystyle{ 10}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ 11}\), czyli gdy symbol Legendre'a \(\displaystyle{ ( \frac{10}{11})}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{10}{11})=( \frac{2}{11})( \frac{5}{11} )=(-1)( \frac{1}{5})=(-1)(1)=-1}\)
\(\displaystyle{ 10}\) nie jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ 11}\), więc równanie nie ma całkowitych rozwiązań. Dobrze?
Baaaaardzo Wam dziękuję - to zadanie z egzaminu, który jutro piszę i dzięki Wam zadanie zrozumiałam.
otóż: żeby \(\displaystyle{ x^2+1}\) było podzielne przez 11 to musi \(\displaystyle{ 11|x^2+1}\)
czyli \(\displaystyle{ 11|x^2-(-1)}\)
czyli \(\displaystyle{ x^2\equiv(-1)(mod 11)}\)
czyli \(\displaystyle{ x^2\equiv10(mod 11)}\)
a rozwiązanie istnieje, gdy \(\displaystyle{ 10}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ 11}\), czyli gdy symbol Legendre'a \(\displaystyle{ ( \frac{10}{11})}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{10}{11})=( \frac{2}{11})( \frac{5}{11} )=(-1)( \frac{1}{5})=(-1)(1)=-1}\)
\(\displaystyle{ 10}\) nie jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ 11}\), więc równanie nie ma całkowitych rozwiązań. Dobrze?
Baaaaardzo Wam dziękuję - to zadanie z egzaminu, który jutro piszę i dzięki Wam zadanie zrozumiałam.
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
hm, za bardzo sobie komplikujesz życie. Tym bardziej, że klaustrofob napisał, że można zrobić z podzielności przez 3 (mi się wydawało to zbyt oczywiste i najpierw sprawdziłem 11 ;P).
Prościej tak:
mamy trzy możliwości
1/ \(\displaystyle{ x \equiv 0 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 \equiv 0 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2+1 \equiv 1 \ (mod \ 3)}\)
2/ \(\displaystyle{ x \equiv 1 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 \equiv 1 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 +1 \equiv 2 \ (mod \ 3)}\)
3/ \(\displaystyle{ x \equiv 2 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 \equiv 4 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 +1 \equiv 5 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 +1 \equiv 1 \ (mod \ 3)}\)
W żadnym przypadku Lewa strona równania nie dzieli się przez 3, zaś prawa strona równania jest podzielna przez 3 dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ y}\).
Prościej i dokładniej nie potrafię.
Prościej tak:
mamy trzy możliwości
1/ \(\displaystyle{ x \equiv 0 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 \equiv 0 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2+1 \equiv 1 \ (mod \ 3)}\)
2/ \(\displaystyle{ x \equiv 1 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 \equiv 1 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 +1 \equiv 2 \ (mod \ 3)}\)
3/ \(\displaystyle{ x \equiv 2 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 \equiv 4 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 +1 \equiv 5 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow x^2 +1 \equiv 1 \ (mod \ 3)}\)
W żadnym przypadku Lewa strona równania nie dzieli się przez 3, zaś prawa strona równania jest podzielna przez 3 dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ y}\).
Prościej i dokładniej nie potrafię.
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
wykazać, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych - spr
A może po prostu powiedzieć, że kongruencja \(\displaystyle{ x^2\equiv -1\pmod{p}}\) dla nieparzystego \(\displaystyle{ p\in\mathbb{P}}\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p\equiv 1 \pmod{4}}\)? To załatwia kwestię podzielności zarówno przez 3 jak i 11 xD Dowód tego jest chyba w "Dowodach z księgi", jeżeli się nie mylę- w każdym razie jest dość elementarny.