Kwadrat liczby całkowitej

[kubek1]

Witam. Mam problem z następującym zadankiem:

Niech a i b będą takimi liczbami naturalnymi, że \(\displaystyle{ a|b+1}\) i \(\displaystyle{ b|a^2-2}\). Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \frac{b+1}{2}}\) jest kwadratem pewnej liczby całkowitej.

Z góry dzięki za pomoc

[tometomek91]

Z pierwszego warunku wynika, że albo liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są przeciwnej parzystości, albo a=1. Z drugiego natomiast wynika że obydwie są parzyste lub obydwie nieparzyste. Stąd \(\displaystyle{ a=b=1}\) i mamy tezę.

[smigol]

Z drugiego natomiast wynika że obydwie są parzyste lub obydwie nieparzyste.

a=6,b=17.

-- 28 sierpnia 2010, 19:54 --

Z pierwszego warunku wynika, że albo liczby i są przeciwnej parzystości, albo a=1.

b=11, a=3.

[SaxoN]

Dla \(\displaystyle{ a\in\{1,2\}}\) zadanie jest trywialne. Załóżmy zatem \(\displaystyle{ a\geq 3}\) Z pierwszej podzielności \(\displaystyle{ b=aq-1}\), przy czym oczywiście \(\displaystyle{ (b,q)=1}\) oraz \(\displaystyle{ q=\frac{b+1}{a}\leq\frac{b+1}{3}\leq\frac{b}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ 2q\leq b}\). Dalej \(\displaystyle{ b\mid \Big(\frac{b+1}{q}\Big)^2-2=\frac{b^2+2b+1-2q^2}{q^2}}\), czyli \(\displaystyle{ b\mid 2q^2-1=aq-1+q(2q-a)=b-q(2q-a)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ b, q}\) są względnie pierwsze, \(\displaystyle{ b|2q-a\leq b-a< b}\), zatem \(\displaystyle{ 2q-a=0}\). To już kończy dowód, bo \(\displaystyle{ b=aq-1=2q^2-1\Rightarrow \frac{b+1}{2}=q^2}\).

[kubek1]

Dzięki