Witam. Mam problem z następującym zadankiem:
Niech a i b będą takimi liczbami naturalnymi, że \(\displaystyle{ a|b+1}\) i \(\displaystyle{ b|a^2-2}\). Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \frac{b+1}{2}}\) jest kwadratem pewnej liczby całkowitej.
Z góry dzięki za pomoc
Kwadrat liczby całkowitej
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Kwadrat liczby całkowitej
Z pierwszego warunku wynika, że albo liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są przeciwnej parzystości, albo a=1. Z drugiego natomiast wynika że obydwie są parzyste lub obydwie nieparzyste. Stąd \(\displaystyle{ a=b=1}\) i mamy tezę.
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Kwadrat liczby całkowitej
a=6,b=17.Z drugiego natomiast wynika że obydwie są parzyste lub obydwie nieparzyste.
-- 28 sierpnia 2010, 19:54 --
b=11, a=3.Z pierwszego warunku wynika, że albo liczby i są przeciwnej parzystości, albo a=1.
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
Kwadrat liczby całkowitej
Dla \(\displaystyle{ a\in\{1,2\}}\) zadanie jest trywialne. Załóżmy zatem \(\displaystyle{ a\geq 3}\) Z pierwszej podzielności \(\displaystyle{ b=aq-1}\), przy czym oczywiście \(\displaystyle{ (b,q)=1}\) oraz \(\displaystyle{ q=\frac{b+1}{a}\leq\frac{b+1}{3}\leq\frac{b}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ 2q\leq b}\). Dalej \(\displaystyle{ b\mid \Big(\frac{b+1}{q}\Big)^2-2=\frac{b^2+2b+1-2q^2}{q^2}}\), czyli \(\displaystyle{ b\mid 2q^2-1=aq-1+q(2q-a)=b-q(2q-a)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ b, q}\) są względnie pierwsze, \(\displaystyle{ b|2q-a\leq b-a< b}\), zatem \(\displaystyle{ 2q-a=0}\). To już kończy dowód, bo \(\displaystyle{ b=aq-1=2q^2-1\Rightarrow \frac{b+1}{2}=q^2}\).