Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ [n+\sqrt{n}]}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ [x]}\) oznacza największą liczbę naturalną nie większą niż \(\displaystyle{ x}\).
Zadanie sprowadza się do udowodnienia, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{M}}\) jest zbiorem liczb naturalnych postaci \(\displaystyle{ n^2+n-1}\), to zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{N}\backslash\mathbb{M}}\) zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci...
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
Nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci...
Jeżeli jest to równoważne drugiemu stwierdzeniu, to jest prosto. Z twierdzenia Dirichleta wiemy, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 5n+3}\), zaś \(\displaystyle{ n^2+n-1\equiv 0,1,4\pmod{5}}\).