Matematyka.pl

Witam

Chciałbym poprosić kogoś o ocenie rozwiązania jednego zadania. Czy nie ma błędów i czy dowód jest wystarczający.

Treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ (a_{1},a_{2},...,a_{n})}\) będzie dowolną permutacją zbioru {1,2,...,n}. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (a_{1}-1)^{2}+(a_{2}-2) ^{2}+...+(a_{n}-n) ^{2}}\)
jest liczbą parzystą.

Moje rozwiązanie:
Teza: \(\displaystyle{ \frac{(a_{1}-1)^{2}+(a_{2}-2)^{2}+...+(a_{n}-n)^{2}}{2} \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a_{1}-1)^{2}}{2}+ \frac{(a_{2}-2)^{2}}{2}+...+ \frac{(a_{n}-n)^{2}}{2} \in \mathbb{C}}\)
Można usunąć kwadrat, ponieważ:
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{C} \wedge x \equiv k (mod 2) \Rightarrow x^{2} \equiv k (mod 2)}\)
Dowód: Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako \(\displaystyle{ (2k + r) \wedge k \in \mathbb{C} \wedge (r = 0 \vee r = 1)}\)
więc \(\displaystyle{ (2k + r)^{2} = 4k^{2} + 4kr + r^{2}}\)
a.. \(\displaystyle{ 0^{2} = 0}\) i \(\displaystyle{ 1^{2} = 1}\)

Kontynuując:
\(\displaystyle{ \frac{(a_{1}-1)}{2}+ \frac{(a_{2}-2)}{2}+...+ \frac{(a_{n}-n)}{2} \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{a_{2}}{2} - \frac{2}{2} +...+ \frac{a_{n}}{2} - \frac{n}{2} \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2} +...+ \frac{a_{n}}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} +...+ \frac{n}{2}) \in \mathbb{C}}\)
Możemy teraz cofnąć permutację w pierwszym nawiasie:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} +...+ \frac{n}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} +...+ \frac{n}{2}) \in \mathbb{C}}\)
i skrócić
\(\displaystyle{ 0 \in \mathbb{C}}\)

Jeśli dobrze zrozumiałem, to założyłeś, że teza jest prawdziwa i użyłeś tego założenia do dowiedzenia, że jest prawdziwa. Nie wygląda to na poprawne.

EDIT: Nie zrozumiałem. Ale mam nadzieje, że teraz już tak, dowód jest przeprowadzony poprawnie.

Nie lepiej skorzystac ze wzoru skroconego mnozenia?
\(\displaystyle{ (a_1-1)^2+\ldots+(a_n-n)^2=a_1^2+\ldots+a_n^2+1^2+\ldots+n^2-(2\cdot 1a_1+\ldots+2na_n)}\)
Teraz tylko skorzystac z zalozenia i wynik jest.
A jesli chodzi o twoj zapis, to wywnioskowalem z niego, ze pokazales, ze 0 to liczba calkowita.

Dowód: Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako \(\displaystyle{ (2k + r) \wedge k \in \mathbb{C} \wedge (r = 0 \vee r = 1)}\)
więc \(\displaystyle{ (2k + r)^{2} = 4k^{2} + r^{2}}\)

A to chyba nie jest prawda.

Ajć, ale wtopa. Już poprawiłem. Ale to i tak nie zmienia nic nie zmienia bo \(\displaystyle{ 4kr \equiv 0 (mod 2)}\)

Teraz już jest dobrze wg. Ciebie?

A jesli chodzi o twoj zapis, to wywnioskowalem z niego, ze pokazales, ze 0 to liczba calkowita.

Przyjrzyj się, tam gdzie jest napisane Teza. Wychodząc od tezy przekształciłem to wyrażenie do oczywistego faktu, tak samo jak:
2 = 2 / -2
0 = 0
gdyby wyszła mi sprzeczność np.
\(\displaystyle{ 0,5 \in \mathbb{C}}\)
To by była teza obalona.

NAwet modulo 4. Czepiajac sie zapisu, wolalbym po kontynuujac dawac znaki rownosci, zamiast \(\displaystyle{ \in \mathbb{C}}\). W koncu mamy to pokazac.
Moze tak, zamiast kontynuujac, piszesz mamy pokazac, ze:
\(\displaystyle{ \frac{a_1-1}{2}+\ldots+\frac{a_n-n}{2}\in \mathbb{C}\\
\frac{a_1-1}{2}+\ldots+\frac{a_n-n}{2}=\\
\vdots\\
=0\in \mathbb{C}}\)
Cos takiego.
Zreszta, nie bede sie narzucal, ale po skorzystaniu ze wzoru skroconego mnozenia i "odwroceniu permutacji" masz dowod w dwoch linjkach, ktorego raczej nikt nie powinien sie czepic.-- 24 sie 2010, o 23:47 --

Przyjrzyj się, tam gdzie jest napisane Teza. Wychodząc od tezy przekształciłem to wyrażenie do oczywistego faktu,

No chyba, ze napiszesz to od dolu, to wszystko powinno grac. Na tezie sie powinno zakonczyc .
Wnioskowanie jest w jedna strone.

Racja, mogłem używać znaku równości, ale nie zawsze się dało (np. jak usunąłem kwadraty).

Idea dowodu jest spoko, natomiast zapis jest chaotyczny. To samo można było napisać tak:
\(\displaystyle{ 0\equiv x(x-1) = x^2-x\pmod{2}}\)

czyli

\(\displaystyle{ x^2\equiv x\pmod{2}}\)

Z tego mamy

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n(a_k-k)^2\equiv\sum_{k=1}^n(a_k-k)\equiv\sum_{k=1}^na_k - \sum_{k=1}^nk=\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^nk=0\pmod{2}}\)

Co daje tezę.
...............................
Prawda, że bardziej przejrzyste?
Poza tym można wykazać znacznie więcej- dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ p\in\mathbb{P}}\) oraz dowolnej permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2,\ldots,n\}}\) zachodzi \(\displaystyle{ p\mid \sum_{k=1}^n(a_k-k)^p}\)

Doodleman pisze:gdyby wyszła mi sprzeczność np.
\(\displaystyle{ 0,5 \in \mathbb{C}}\)

A co tu jest nieprawdziwe?

Ein pisze:

Doodleman pisze:gdyby wyszła mi sprzeczność np.
\(\displaystyle{ 0,5 \in \mathbb{C}}\)

A co tu jest nieprawdziwe?

Niepotrzebnie się czepiasz... Nie jego wina, że w polskich liceach uparcie kłamią uczniów, że \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) to całkowite, a \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to zespolone. W sumie ciekawe jest to dlaczego nie uczą normalnie, przy okazji objaśniając skąd wzięły się takie oznaczenia, zamiast cisnąć ludziom do głowy brednie

Podobno w latach 90 wprowadzono w podręcznikach takie oznaczenia i do teraz się z nimi męczymy, ot cała historia.

No niby tak, ale z jakiej racji wprowadzono wtedy oznaczenia sprzeczne z jakimikolwiek ogólnoświatowymi normami? To już nie jest pytanie na moją głowę