Ocena rozwiązania i dowodu
Ocena rozwiązania i dowodu
Witam
Chciałbym poprosić kogoś o ocenie rozwiązania jednego zadania. Czy nie ma błędów i czy dowód jest wystarczający.
Treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ (a_{1},a_{2},...,a_{n})}\) będzie dowolną permutacją zbioru {1,2,...,n}. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (a_{1}-1)^{2}+(a_{2}-2) ^{2}+...+(a_{n}-n) ^{2}}\)
jest liczbą parzystą.
Moje rozwiązanie:
Teza: \(\displaystyle{ \frac{(a_{1}-1)^{2}+(a_{2}-2)^{2}+...+(a_{n}-n)^{2}}{2} \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a_{1}-1)^{2}}{2}+ \frac{(a_{2}-2)^{2}}{2}+...+ \frac{(a_{n}-n)^{2}}{2} \in \mathbb{C}}\)
Można usunąć kwadrat, ponieważ:
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{C} \wedge x \equiv k (mod 2) \Rightarrow x^{2} \equiv k (mod 2)}\)
Dowód: Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako \(\displaystyle{ (2k + r) \wedge k \in \mathbb{C} \wedge (r = 0 \vee r = 1)}\)
więc \(\displaystyle{ (2k + r)^{2} = 4k^{2} + 4kr + r^{2}}\)
a.. \(\displaystyle{ 0^{2} = 0}\) i \(\displaystyle{ 1^{2} = 1}\)
Kontynuując:
\(\displaystyle{ \frac{(a_{1}-1)}{2}+ \frac{(a_{2}-2)}{2}+...+ \frac{(a_{n}-n)}{2} \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{a_{2}}{2} - \frac{2}{2} +...+ \frac{a_{n}}{2} - \frac{n}{2} \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2} +...+ \frac{a_{n}}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} +...+ \frac{n}{2}) \in \mathbb{C}}\)
Możemy teraz cofnąć permutację w pierwszym nawiasie:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} +...+ \frac{n}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} +...+ \frac{n}{2}) \in \mathbb{C}}\)
i skrócić
\(\displaystyle{ 0 \in \mathbb{C}}\)
Chciałbym poprosić kogoś o ocenie rozwiązania jednego zadania. Czy nie ma błędów i czy dowód jest wystarczający.
Treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ (a_{1},a_{2},...,a_{n})}\) będzie dowolną permutacją zbioru {1,2,...,n}. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (a_{1}-1)^{2}+(a_{2}-2) ^{2}+...+(a_{n}-n) ^{2}}\)
jest liczbą parzystą.
Moje rozwiązanie:
Teza: \(\displaystyle{ \frac{(a_{1}-1)^{2}+(a_{2}-2)^{2}+...+(a_{n}-n)^{2}}{2} \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a_{1}-1)^{2}}{2}+ \frac{(a_{2}-2)^{2}}{2}+...+ \frac{(a_{n}-n)^{2}}{2} \in \mathbb{C}}\)
Można usunąć kwadrat, ponieważ:
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{C} \wedge x \equiv k (mod 2) \Rightarrow x^{2} \equiv k (mod 2)}\)
Dowód: Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako \(\displaystyle{ (2k + r) \wedge k \in \mathbb{C} \wedge (r = 0 \vee r = 1)}\)
więc \(\displaystyle{ (2k + r)^{2} = 4k^{2} + 4kr + r^{2}}\)
a.. \(\displaystyle{ 0^{2} = 0}\) i \(\displaystyle{ 1^{2} = 1}\)
Kontynuując:
\(\displaystyle{ \frac{(a_{1}-1)}{2}+ \frac{(a_{2}-2)}{2}+...+ \frac{(a_{n}-n)}{2} \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{a_{2}}{2} - \frac{2}{2} +...+ \frac{a_{n}}{2} - \frac{n}{2} \in \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2} +...+ \frac{a_{n}}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} +...+ \frac{n}{2}) \in \mathbb{C}}\)
Możemy teraz cofnąć permutację w pierwszym nawiasie:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} +...+ \frac{n}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} +...+ \frac{n}{2}) \in \mathbb{C}}\)
i skrócić
\(\displaystyle{ 0 \in \mathbb{C}}\)
Ostatnio zmieniony 24 sie 2010, o 23:22 przez Doodleman, łącznie zmieniany 7 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 222
- Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 32 razy
Ocena rozwiązania i dowodu
Jeśli dobrze zrozumiałem, to założyłeś, że teza jest prawdziwa i użyłeś tego założenia do dowiedzenia, że jest prawdziwa. Nie wygląda to na poprawne.
EDIT: Nie zrozumiałem. Ale mam nadzieje, że teraz już tak, dowód jest przeprowadzony poprawnie.
EDIT: Nie zrozumiałem. Ale mam nadzieje, że teraz już tak, dowód jest przeprowadzony poprawnie.
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Ocena rozwiązania i dowodu
Nie lepiej skorzystac ze wzoru skroconego mnozenia?
\(\displaystyle{ (a_1-1)^2+\ldots+(a_n-n)^2=a_1^2+\ldots+a_n^2+1^2+\ldots+n^2-(2\cdot 1a_1+\ldots+2na_n)}\)
Teraz tylko skorzystac z zalozenia i wynik jest.
A jesli chodzi o twoj zapis, to wywnioskowalem z niego, ze pokazales, ze 0 to liczba calkowita.
\(\displaystyle{ (a_1-1)^2+\ldots+(a_n-n)^2=a_1^2+\ldots+a_n^2+1^2+\ldots+n^2-(2\cdot 1a_1+\ldots+2na_n)}\)
Teraz tylko skorzystac z zalozenia i wynik jest.
A jesli chodzi o twoj zapis, to wywnioskowalem z niego, ze pokazales, ze 0 to liczba calkowita.
A to chyba nie jest prawda.Dowód: Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako \(\displaystyle{ (2k + r) \wedge k \in \mathbb{C} \wedge (r = 0 \vee r = 1)}\)
więc \(\displaystyle{ (2k + r)^{2} = 4k^{2} + r^{2}}\)
Ocena rozwiązania i dowodu
Ajć, ale wtopa. Już poprawiłem. Ale to i tak nie zmienia nic nie zmienia bo \(\displaystyle{ 4kr \equiv 0 (mod 2)}\)
Teraz już jest dobrze wg. Ciebie?
2 = 2 / -2
0 = 0
gdyby wyszła mi sprzeczność np.
\(\displaystyle{ 0,5 \in \mathbb{C}}\)
To by była teza obalona.
Teraz już jest dobrze wg. Ciebie?
Przyjrzyj się, tam gdzie jest napisane Teza. Wychodząc od tezy przekształciłem to wyrażenie do oczywistego faktu, tak samo jak:A jesli chodzi o twoj zapis, to wywnioskowalem z niego, ze pokazales, ze 0 to liczba calkowita.
2 = 2 / -2
0 = 0
gdyby wyszła mi sprzeczność np.
\(\displaystyle{ 0,5 \in \mathbb{C}}\)
To by była teza obalona.
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Ocena rozwiązania i dowodu
NAwet modulo 4. Czepiajac sie zapisu, wolalbym po kontynuujac dawac znaki rownosci, zamiast \(\displaystyle{ \in \mathbb{C}}\). W koncu mamy to pokazac.
Moze tak, zamiast kontynuujac, piszesz mamy pokazac, ze:
\(\displaystyle{ \frac{a_1-1}{2}+\ldots+\frac{a_n-n}{2}\in \mathbb{C}\\
\frac{a_1-1}{2}+\ldots+\frac{a_n-n}{2}=\\
\vdots\\
=0\in \mathbb{C}}\)
Cos takiego.
Zreszta, nie bede sie narzucal, ale po skorzystaniu ze wzoru skroconego mnozenia i "odwroceniu permutacji" masz dowod w dwoch linjkach, ktorego raczej nikt nie powinien sie czepic.-- 24 sie 2010, o 23:47 --
Wnioskowanie jest w jedna strone.
Moze tak, zamiast kontynuujac, piszesz mamy pokazac, ze:
\(\displaystyle{ \frac{a_1-1}{2}+\ldots+\frac{a_n-n}{2}\in \mathbb{C}\\
\frac{a_1-1}{2}+\ldots+\frac{a_n-n}{2}=\\
\vdots\\
=0\in \mathbb{C}}\)
Cos takiego.
Zreszta, nie bede sie narzucal, ale po skorzystaniu ze wzoru skroconego mnozenia i "odwroceniu permutacji" masz dowod w dwoch linjkach, ktorego raczej nikt nie powinien sie czepic.-- 24 sie 2010, o 23:47 --
No chyba, ze napiszesz to od dolu, to wszystko powinno grac. Na tezie sie powinno zakonczyc .Przyjrzyj się, tam gdzie jest napisane Teza. Wychodząc od tezy przekształciłem to wyrażenie do oczywistego faktu,
Wnioskowanie jest w jedna strone.
Ocena rozwiązania i dowodu
Racja, mogłem używać znaku równości, ale nie zawsze się dało (np. jak usunąłem kwadraty).
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
Ocena rozwiązania i dowodu
Idea dowodu jest spoko, natomiast zapis jest chaotyczny. To samo można było napisać tak:
\(\displaystyle{ 0\equiv x(x-1) = x^2-x\pmod{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ x^2\equiv x\pmod{2}}\)
Z tego mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n(a_k-k)^2\equiv\sum_{k=1}^n(a_k-k)\equiv\sum_{k=1}^na_k - \sum_{k=1}^nk=\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^nk=0\pmod{2}}\)
Co daje tezę.
...............................
Prawda, że bardziej przejrzyste?
Poza tym można wykazać znacznie więcej- dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ p\in\mathbb{P}}\) oraz dowolnej permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2,\ldots,n\}}\) zachodzi \(\displaystyle{ p\mid \sum_{k=1}^n(a_k-k)^p}\)
\(\displaystyle{ 0\equiv x(x-1) = x^2-x\pmod{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ x^2\equiv x\pmod{2}}\)
Z tego mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n(a_k-k)^2\equiv\sum_{k=1}^n(a_k-k)\equiv\sum_{k=1}^na_k - \sum_{k=1}^nk=\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^nk=0\pmod{2}}\)
Co daje tezę.
...............................
Prawda, że bardziej przejrzyste?
Poza tym można wykazać znacznie więcej- dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ p\in\mathbb{P}}\) oraz dowolnej permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2,\ldots,n\}}\) zachodzi \(\displaystyle{ p\mid \sum_{k=1}^n(a_k-k)^p}\)
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
Ocena rozwiązania i dowodu
Niepotrzebnie się czepiasz... Nie jego wina, że w polskich liceach uparcie kłamią uczniów, że \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) to całkowite, a \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to zespolone. W sumie ciekawe jest to dlaczego nie uczą normalnie, przy okazji objaśniając skąd wzięły się takie oznaczenia, zamiast cisnąć ludziom do głowy brednieEin pisze:A co tu jest nieprawdziwe?Doodleman pisze:gdyby wyszła mi sprzeczność np.
\(\displaystyle{ 0,5 \in \mathbb{C}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 222
- Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 32 razy
Ocena rozwiązania i dowodu
Podobno w latach 90 wprowadzono w podręcznikach takie oznaczenia i do teraz się z nimi męczymy, ot cała historia.
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
Ocena rozwiązania i dowodu
No niby tak, ale z jakiej racji wprowadzono wtedy oznaczenia sprzeczne z jakimikolwiek ogólnoświatowymi normami? To już nie jest pytanie na moją głowę