1 jako ułamki proste

[bzyk12]

Wykaż że liczba 1 nie jest sumą ułamków prostych których mianowniki są różnymi:
a) liczbami pierwszymi,
b) kwadratami liczb naturalnych-- 23 lip 2010, o 18:37 --to pierwsze już wiem..

[Xitami]

Sumuję sobie następujące ułamki (w nawiasie bieżąca suma).
Nigdy w szyciu nie dojdę do jedynki?
Ile mi braknie?
\(\displaystyle{ 1/2 \quad(\approx 0.5000000000000000000000000000\dots)\\
+ 1/5 \quad(\approx 0.7000000000000000000000000000\dots)\\
+ 1/7 \quad(\approx 0.8428571428571428571428571429\dots)\\
+ 1/13 \quad(\approx 0.9197802197802197802197802198\dots)\\
+ 1/29 \quad(\approx 0.9542629784009094353921940129\dots)\\
+ 1/47 \quad(\approx 0.9755395741455902864560238001\dots)\\
+ 1/83 \quad(\approx 0.9875877669166746238054213905\dots)\\
+ 1/163 \quad(\approx 0.9937227362418279980385502248\dots)\\
+ 1/331 \quad(\approx 0.9967438842780817744735955421\dots)\\
+ 1/617 \quad(\approx 0.9983646298210315313617640996\dots)\\
+ 1/1223 \quad(\approx 0.9991822913091754397836774275\dots)\\
+ 1/2447 \quad(\approx 0.9995909549789751945854755476\dots)\\
+ 1/4903 \quad(\approx 0.9997949117401418272593486865\dots)\\
+ 1/9767 \quad(\approx 0.9998972973242515846055143464\dots)\\
+ 1/19477 \quad(\approx 0.9999486399334829857453202713\dots)\\
+ 1/38953 \quad(\approx 0.9999743118971314852190450165\dots)\\
+ 1/77863 \quad(\approx 0.9999871549676527854515045930\dots)\\
+ 1/155707 \quad(\approx 0.9999935772864952267033429817\dots)\\
+ 1/311407 \quad(\approx 0.9999967885180988836538932263\dots)\\
+ 1/622777 \quad(\approx 0.9999983942292924569554120685\dots)\\
+ 1/1245509 \quad(\approx 0.9999991971138962615043956567\dots)\\
+ 1/2491031 \quad(\approx 0.9999995985541031477294165416\dots)\\
+ 1/4981993 \quad(\approx 0.9999997992769865399782615320\dots)\\
+ 1/9963997 \quad(\approx 0.9999998996383174396162281030\dots)\\
\dots}\)
Podobnie z kwadratami
\(\displaystyle{ 3/4 \quad(\approx 0.7500000000000000000000000000\dots)\\
+ 1/9 \quad(\approx 0.8611111111111111111111111111\dots)\\
+ 1/16 \quad(\approx 0.9236111111111111111111111111\dots)\\
+ 1/36 \quad(\approx 0.9513888888888888888888888889\dots)\\
+ 1/49 \quad(\approx 0.9717970521541950113378684807\dots)\\
+ 1/81 \quad(\approx 0.9841427311665406903502141597\dots)\\
+ 1/144 \quad(\approx 0.9910871756109851347946586042\dots)\\
+ 1/225 \quad(\approx 0.9955316200554295792391030486\dots)\\
+ 1/484 \quad(\approx 0.9975977357579089180820782552\dots)\\
+ 1/841 \quad(\approx 0.9987867964000016648121614895\dots)\\
+ 1/1681 \quad(\approx 0.9993816803976221288216796334\dots)\\
+ 1/3249 \quad(\approx 0.9996894674090102482430400520\dots)\\
+ 1/6561 \quad(\approx 0.9998418831992861208234393814\dots)\\
+ 1/12769 \quad(\approx 0.9999201978676235004146368127\dots)\\
+ 1/25281 \quad(\approx 0.9999597532649574666343274895\dots)\\
+ 1/49729 \quad(\approx 0.9999798622556872219079103084\dots)\\
+ 1/99856 \quad(\approx 0.9999898766764531248080865622\dots)\\
+ 1/198025 \quad(\approx 0.9999949265438941044823701122\dots)\\
+ 1/394384 \quad(\approx 0.9999974621437155982549369506\dots)\\
+ 1/788544 \quad(\approx 0.9999987303037675420906645701\dots)\\
+ 1/1577536 \quad(\approx 0.9999993642037229155338062797\dots)\\
+ 1/3147076 \quad(\approx 0.9999996819589979708549996669\dots)\\
+ 1/6290064 \quad(\approx 0.9999998409398922829001553282\dots)\\
+ 1/12574116 \quad(\approx 0.9999999204683458139475864160\dots)\\
+ 1/25150225 \quad(\approx 0.9999999602294215100894698386\dots)\\
+ 1/50296464 \quad(\approx 0.9999999801115348928513276105\dots)\\
\dots}\)

[pawels]

Nie jestem pewien co nazywasz w tym kontekscie ułam prostym, jednak jeżeli chodzi Ci o liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{x}\ x\in\mathbb{Z}}\) to dowód może przebiegać tak:

(a) Wymnóżmy przez wszystkie mianowniki. Wówczas dla dowolnej z liczb pierwszych pojawiających się w mianownikach jedna strona jako iloczyn wszystkich będzie przez nią podzielna, a natomiast po drugiej stronie domniemanej równości otrzymamy sumę iloczynów dla której dokładnie jeden składnik nie będzie podzielny przez tą liczbę (konkretnie ten, który powstał z wymnożenia jej odwrotności z iloczynem wszystkich), czyli cała suma nie będzie przez tą liczbę podzielna.

(b) Mam tutaj inny argument- znając sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}\) widzimy, że jeżeli wśród mianowników pojawi się jedynka to jest już za dużo (chyba, że będzie to suma składająca się z jednego składnika), a przeciwnym wypadku dodanie dowolnie dużej liczby odwrotności kwadratów nie pozwoli otrzymać liczby większej od \(\displaystyle{ \frac{\pi^2}{6}-1<1}\).

Na początku próbowałem robić to tak jak (a) ale rozumowanie które przeprowadziłem było dość skomplikowane, a i tak w końcu pojawiało się odwołanie do technik analizy matematycznej

PS
Co do poprzedniego posta, to gratuluję wytrwałości, jednakże wypisanie dowolnie dużej liczby przykładów nigdy nie zastąpi dowodu.

[max]

(b) Indukcyjnie można pokazać, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n^{2}} < 2-\frac{1}{k}<2}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\).