problem dla indukcji ze skokiem

[bzyk12]

Korzystając z indukcji ze skokiem m-1, poczawszy od k=m rozwiązać następujące zadanie:
Niech n oraz m będą ustalonymi liczbami naturalnymi większymi od 1 i niech Z(k) oznacza zdanie " Równanie \(\displaystyle{ x ^{n} _{1} +x ^{n} _{2} +....+x ^{n} _{k}=y ^{n}}\) ma rozwiązanie w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x _{1}<x _{2}<...<x _{k}<y}\)". Wykaż, że jeżeli zdania Z(m), Z(m+1),...,Z(2m-2) są prawdziwe, to dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k \ge m}\) zdanie Z(k) jest prawdziwe.

[pawels]

[...] jeżeli zdania Z(m), Z(m+1),...,Z(2m-2) są prawdziwe [...]

To jest sprawdzenie warunku początkowego.

Przypuśćmy teraz, że dla pewnego \(\displaystyle{ k\geq m-1}\) zachodzi Z(k). Liczbą y pojawiającą się w zdaniu Z(p) będę oznaczał \(\displaystyle{ y_p}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k+m-1}x_i^n=\sum_{i=1}^k x_i^n+\sum_{i=k+1}^{k+m-1}=y_k^n+\sum_{i=k+1}^{k+m-1}x_i^n=y_{k+m-1}^n}\), przy czym przedostatnia równość wynika z Z(k), a ostatnia z Z(m-1). Na mocy zasady indukcji dowód jest zakończony.