Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.

[tometomek91]

Wykazać, że:
\(\displaystyle{ 5 \nmid 2^{p-1}-3 \cdot 2^{p-2} + 3^{2} \cdot 2^{p-3}-...-2 \cdot 3^{p-2}+3^{p-1}}\) gdzie p jest liczbą pierwszą. Czy istnieje takie p nieparzyste, dla którego zachodzi podzielność?

[filip.wroc]

to wyrazenie wyglada mi na dwumian Newtona z odjetym pierwszym i ostatnim skladnikiem. Sprobuj tak to ugrysc. zdaje sie ze dostaniesz sume w stylu (liczone w pamieci, wiec lepiej sprawdz)
\(\displaystyle{ (2+3)^p - 2^p - 3^p = 5^p - 2^p - 3^p}\)
Potem korzystasz z czegos w tym stylu:
\(\displaystyle{ c | (a+b) \Leftrightarrow c | a \wedge c | b}\)

[abc666]

filip.wroc, prawie wszystko co napisałeś to nieprawda niestety. We wzorze dwumianowym są jeszcze symbole newtona, a to że 5 dzieli 15 wcale nie oznacza że 5 dzieli 7 i 8

[Majeskas]

Potem korzystasz z czegos w tym stylu:
\(\displaystyle{ c | (a+b) \Leftrightarrow c | a \wedge c | b}\)

W takim razie:

\(\displaystyle{ 2(3+1) \Leftrightarrow 2|1 \wedge 2|3}\)



Jeśli już, to:

\(\displaystyle{ a|cb \Leftrightarrow a|b \wedge a|c}\)

Co do przykładu, to niestety nie widzę sam co dalej, ale myślę, że to spostrzeżenie może pomóc:

\(\displaystyle{ 2^p+3^p=(2+3)(2^{p-1}-3 \cdot 2^{p-2}+…-2 \cdot 3^{p-2}+3^{p-1})}\)

Wzór jest prawdziwy dla nieparzystych p, czyli wyłączając 2 można z niego skorzystać, jeśli wykładnik jest liczbą pierwszą.

[tometomek91]

Jeśli już, to:

\(\displaystyle{ a|cb \Leftrightarrow a|b \wedge a|c}\)

Na pewno?

Dla dwójki podzielność nie zachodzi więc można przyjąć że p nieparzyste. W takim razie pozostaje wykazać, że liczba \(\displaystyle{ \frac{2^p+3^p}{25}}\) nie jest całkowita

-- 9 lip 2010, o 10:40 --

filip.wroc, zachodzi jedynie taka implikacja:
\(\displaystyle{ (c \mid a \wedge c \mid b) \Rightarrow c \mid (a+b)}\)

-- 9 lip 2010, o 10:45 --

a to że 5 dzieli 15 wcale nie oznacza że 5 dzieli 7 i 8

abc666, , czego to się tyczy?
Pasowałoby, gdyby Filip z Wrocławia napisał \(\displaystyle{ c | (a+b) \Rightarrow c | a \wedge c | b}\).

[smigol]

Niech \(\displaystyle{ a_k=3^k \cdot 2^{p-k-1}}\), wtedy :
\(\displaystyle{ 2^{p-1}-3 \cdot 2^{p-2}+…-2 \cdot 3^{p-2}+3^{p-1}= \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k a_k}\)
i spójrz na reszty z dzielenia \(\displaystyle{ a_k}\) przez \(\displaystyle{ 5}\).
\(\displaystyle{ a_k \equiv 3^k \cdot 2^{p-k-1} \equiv (-2)^k \cdot 2^{p-k-1} \equiv (-1)^k \cdot 2^{p-1} \ \ (mod \ 5)}\)
No to:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k a_k \equiv \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k \cdot (-1)^k \cdot 2^{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}2^{p-1} \equiv p \cdot 2^{p-1} \ \ (mod \ 5)}\)
no to jeśli dla p=5 nie zachodzi, to dla innych pierwszych też nie.

EDIT:
Oczywiście zdanie:

no to jeśli dla p=5 nie zachodzi, to dla innych pierwszych też nie.

jest nie na miejscu.
Powinno być: dla p=5 zachodzi, a dla innych pierwszych nie.
Możliwe, że gdzieś się rąbnąłem w rachunkach, jak tak to sorry, ale w sumie jeszcze śpię. Jeśli się rąbnąłem to tak czy inaczej powinno iść tą metodą.

[ordyh]

smigol dobrze napisałeś, a z tego, że ta suma przystaje do \(\displaystyle{ p\cdot2^{p-1}}\) od razu wynika, że dla p=5 ta suma jest podzielna przez 5 (łatwo sprawdzic że wynosi ona 55).

[smigol]

No tak, to drugie zdanie już jest dobre, tj. Powinno być: dla p=5 zachodzi, a dla innych pierwszych nie.
Bo to pierwsze jest do kitu, sam napisałeś, że z tego od razu widać, że dla p podzielnych przez 5 to dane wyrażenie jest podzielne przez 5.