Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.
Wykazać, że:
\(\displaystyle{ 5 \nmid 2^{p-1}-3 \cdot 2^{p-2} + 3^{2} \cdot 2^{p-3}-...-2 \cdot 3^{p-2}+3^{p-1}}\) gdzie p jest liczbą pierwszą. Czy istnieje takie p nieparzyste, dla którego zachodzi podzielność?
\(\displaystyle{ 5 \nmid 2^{p-1}-3 \cdot 2^{p-2} + 3^{2} \cdot 2^{p-3}-...-2 \cdot 3^{p-2}+3^{p-1}}\) gdzie p jest liczbą pierwszą. Czy istnieje takie p nieparzyste, dla którego zachodzi podzielność?
-
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 17 sty 2010, o 15:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wroclaw
- Pomógł: 13 razy
Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.
to wyrazenie wyglada mi na dwumian Newtona z odjetym pierwszym i ostatnim skladnikiem. Sprobuj tak to ugrysc. zdaje sie ze dostaniesz sume w stylu (liczone w pamieci, wiec lepiej sprawdz)
\(\displaystyle{ (2+3)^p - 2^p - 3^p = 5^p - 2^p - 3^p}\)
Potem korzystasz z czegos w tym stylu:
\(\displaystyle{ c | (a+b) \Leftrightarrow c | a \wedge c | b}\)
\(\displaystyle{ (2+3)^p - 2^p - 3^p = 5^p - 2^p - 3^p}\)
Potem korzystasz z czegos w tym stylu:
\(\displaystyle{ c | (a+b) \Leftrightarrow c | a \wedge c | b}\)
Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.
filip.wroc, prawie wszystko co napisałeś to nieprawda niestety. We wzorze dwumianowym są jeszcze symbole newtona, a to że 5 dzieli 15 wcale nie oznacza że 5 dzieli 7 i 8
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.
W takim razie:filip.wroc pisze: Potem korzystasz z czegos w tym stylu:
\(\displaystyle{ c | (a+b) \Leftrightarrow c | a \wedge c | b}\)
\(\displaystyle{ 2(3+1) \Leftrightarrow 2|1 \wedge 2|3}\)
Jeśli już, to:
\(\displaystyle{ a|cb \Leftrightarrow a|b \wedge a|c}\)
Co do przykładu, to niestety nie widzę sam co dalej, ale myślę, że to spostrzeżenie może pomóc:
\(\displaystyle{ 2^p+3^p=(2+3)(2^{p-1}-3 \cdot 2^{p-2}+…-2 \cdot 3^{p-2}+3^{p-1})}\)
Wzór jest prawdziwy dla nieparzystych p, czyli wyłączając 2 można z niego skorzystać, jeśli wykładnik jest liczbą pierwszą.
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.
Na pewno?Majeskas pisze: Jeśli już, to:
\(\displaystyle{ a|cb \Leftrightarrow a|b \wedge a|c}\)
Dla dwójki podzielność nie zachodzi więc można przyjąć że p nieparzyste. W takim razie pozostaje wykazać, że liczba \(\displaystyle{ \frac{2^p+3^p}{25}}\) nie jest całkowita
-- 9 lip 2010, o 10:40 --
filip.wroc, zachodzi jedynie taka implikacja:
\(\displaystyle{ (c \mid a \wedge c \mid b) \Rightarrow c \mid (a+b)}\)
-- 9 lip 2010, o 10:45 --
abc666, , czego to się tyczy?abc666 pisze:a to że 5 dzieli 15 wcale nie oznacza że 5 dzieli 7 i 8
Pasowałoby, gdyby Filip z Wrocławia napisał \(\displaystyle{ c | (a+b) \Rightarrow c | a \wedge c | b}\).
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.
Niech \(\displaystyle{ a_k=3^k \cdot 2^{p-k-1}}\), wtedy :
\(\displaystyle{ 2^{p-1}-3 \cdot 2^{p-2}+…-2 \cdot 3^{p-2}+3^{p-1}= \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k a_k}\)
i spójrz na reszty z dzielenia \(\displaystyle{ a_k}\) przez \(\displaystyle{ 5}\).
\(\displaystyle{ a_k \equiv 3^k \cdot 2^{p-k-1} \equiv (-2)^k \cdot 2^{p-k-1} \equiv (-1)^k \cdot 2^{p-1} \ \ (mod \ 5)}\)
No to:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k a_k \equiv \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k \cdot (-1)^k \cdot 2^{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}2^{p-1} \equiv p \cdot 2^{p-1} \ \ (mod \ 5)}\)
no to jeśli dla p=5 nie zachodzi, to dla innych pierwszych też nie.
EDIT:
Oczywiście zdanie:
Powinno być: dla p=5 zachodzi, a dla innych pierwszych nie.
Możliwe, że gdzieś się rąbnąłem w rachunkach, jak tak to sorry, ale w sumie jeszcze śpię. Jeśli się rąbnąłem to tak czy inaczej powinno iść tą metodą.
\(\displaystyle{ 2^{p-1}-3 \cdot 2^{p-2}+…-2 \cdot 3^{p-2}+3^{p-1}= \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k a_k}\)
i spójrz na reszty z dzielenia \(\displaystyle{ a_k}\) przez \(\displaystyle{ 5}\).
\(\displaystyle{ a_k \equiv 3^k \cdot 2^{p-k-1} \equiv (-2)^k \cdot 2^{p-k-1} \equiv (-1)^k \cdot 2^{p-1} \ \ (mod \ 5)}\)
No to:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k a_k \equiv \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k \cdot (-1)^k \cdot 2^{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}2^{p-1} \equiv p \cdot 2^{p-1} \ \ (mod \ 5)}\)
no to jeśli dla p=5 nie zachodzi, to dla innych pierwszych też nie.
EDIT:
Oczywiście zdanie:
jest nie na miejscu.no to jeśli dla p=5 nie zachodzi, to dla innych pierwszych też nie.
Powinno być: dla p=5 zachodzi, a dla innych pierwszych nie.
Możliwe, że gdzieś się rąbnąłem w rachunkach, jak tak to sorry, ale w sumie jeszcze śpię. Jeśli się rąbnąłem to tak czy inaczej powinno iść tą metodą.
Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.
smigol dobrze napisałeś, a z tego, że ta suma przystaje do \(\displaystyle{ p\cdot2^{p-1}}\) od razu wynika, że dla p=5 ta suma jest podzielna przez 5 (łatwo sprawdzic że wynosi ona 55).
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Wykazać, że wyrażenie nie jest podzielne przez 5.
No tak, to drugie zdanie już jest dobre, tj. Powinno być: dla p=5 zachodzi, a dla innych pierwszych nie.
Bo to pierwsze jest do kitu, sam napisałeś, że z tego od razu widać, że dla p podzielnych przez 5 to dane wyrażenie jest podzielne przez 5.
Bo to pierwsze jest do kitu, sam napisałeś, że z tego od razu widać, że dla p podzielnych przez 5 to dane wyrażenie jest podzielne przez 5.