Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
- Stary
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 9 maja 2008, o 13:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 39 razy
Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
Witam,
Wiem ze to zadanie pojawiało się już pare razy ale nie za bardzo rozumiem wskazówki udzielane przez użytkowników. Zakładam nowy temat żeby nie odświeżać tych z zeszłego roku.
Prosiłbym o dość łopatologiczne wytłumaczenie, ponieważ teraz dopiero zaczynam przygode z OM.
Znajdź wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla ktorych następujący ułamek jest skracalny:
\(\displaystyle{ \frac{111n+50}{64n+29}}\)
Wiem że były podpowiedzi z modulo, ale ich nie rozumiałem zbytnio.
Wiem ze to zadanie pojawiało się już pare razy ale nie za bardzo rozumiem wskazówki udzielane przez użytkowników. Zakładam nowy temat żeby nie odświeżać tych z zeszłego roku.
Prosiłbym o dość łopatologiczne wytłumaczenie, ponieważ teraz dopiero zaczynam przygode z OM.
Znajdź wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla ktorych następujący ułamek jest skracalny:
\(\displaystyle{ \frac{111n+50}{64n+29}}\)
Wiem że były podpowiedzi z modulo, ale ich nie rozumiałem zbytnio.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
To musisz przerobić kongruencje od podstaw, bo bez tego ani rusz.
- Stary
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 9 maja 2008, o 13:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 39 razy
Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
Są one na jakiejś stronie internetowej? Kongruencje wykorzystywane są bardzo często przy tego typu zadaniach z dzieleniem?
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
Stary pisze:Są one na jakiejś stronie internetowej?
Owszem.Kongruencje wykorzystywane są bardzo często przy tego typu zadaniach z dzieleniem?
Dałem Ci link do rozwiązania, a nie do podpowiedzi. Myślałem, że to jest jakaś różnica.Wiem że były podpowiedzi z modulo, ale ich nie rozumiałem zbytnio.
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
Zakładam nowy temat, żeby założyć nowy temat. Tyle z tego zrozumiałem.Stary pisze:Zakładam nowy temat żeby nie odświeżać tych z zeszłego roku.
Ukryta treść:
- Stary
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 9 maja 2008, o 13:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 39 razy
Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
No dobrze, pomyliłem się, ale chyba nie chodzi o czepianie sie kogoś tylko o pomocsmigol pisze:Dałem Ci link do rozwiązania, a nie do podpowiedzi. Myślałem, że to jest jakaś różnica.
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
Oczywiście, że nie o to chodzi. Myślałem po prostu, że trafiłeś na inny temat z tym zadaniem, w którym była tylko podpowiedź.Stary pisze:No dobrze, pomyliłem się, ale chyba nie chodzi o czepianie sie kogoś tylko o pomocsmigol pisze:Dałem Ci link do rozwiązania, a nie do podpowiedzi. Myślałem, że to jest jakaś różnica.
Pozdrawiam.
- Stary
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 9 maja 2008, o 13:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 39 razy
Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
Rozumiem W porządku zabieram się za naukę kongruencji, dziekuje za pomoc
-- 3 lipca 2010, 17:25 --
Witam, po przestudiowaniu kongruencji już troche przejaśniała mi sytuacja z tym zadaniem. Myślę, że rozumiem już to;
\(\displaystyle{ 64n+29=0(mod p) \wedge 111n+50=0}\)
Podejrzewam, że wzięło to się stąd że \(\displaystyle{ 64n+29}\) musi podzielić się przez \(\displaystyle{ p}\) bez reszty, natomiast \(\displaystyle{ 0}\) wzięło się stąd że podzielone przez \(\displaystyle{ p}\) również da nam liczbę bez reszty (dokładnie da nam 0 ).
Następnie mamy:
\(\displaystyle{ 64 \cdot 111n+29 \cdot 111=0(mod p) \wedge 111 \cdot 64n+50 \cdot 64=0(mod p)}\)
\(\displaystyle{ 29 \cdot 111-50 \cdot 64=0 (mod p)}\)
Zatem,
\(\displaystyle{ 19=0(mod p)}\) Jako że \(\displaystyle{ 19}\) dzieli się przez samą siebie i \(\displaystyle{ p \ge 2}\) wiec \(\displaystyle{ p=19}\)
Następnie mamy \(\displaystyle{ 64n+29=0 (mod19) \wedge 111n+50=0(mod19)}\) I tutaj juz nie rozumiem następującego przejścia,
\(\displaystyle{ 7n+10=0(mod19) \wedge -3n-7=0(mod19)}\)
Prosiłbym bardzo o pomoc i cierpliwość.
-- 3 lipca 2010, 17:25 --
Witam, po przestudiowaniu kongruencji już troche przejaśniała mi sytuacja z tym zadaniem. Myślę, że rozumiem już to;
\(\displaystyle{ 64n+29=0(mod p) \wedge 111n+50=0}\)
Podejrzewam, że wzięło to się stąd że \(\displaystyle{ 64n+29}\) musi podzielić się przez \(\displaystyle{ p}\) bez reszty, natomiast \(\displaystyle{ 0}\) wzięło się stąd że podzielone przez \(\displaystyle{ p}\) również da nam liczbę bez reszty (dokładnie da nam 0 ).
Następnie mamy:
\(\displaystyle{ 64 \cdot 111n+29 \cdot 111=0(mod p) \wedge 111 \cdot 64n+50 \cdot 64=0(mod p)}\)
\(\displaystyle{ 29 \cdot 111-50 \cdot 64=0 (mod p)}\)
Zatem,
\(\displaystyle{ 19=0(mod p)}\) Jako że \(\displaystyle{ 19}\) dzieli się przez samą siebie i \(\displaystyle{ p \ge 2}\) wiec \(\displaystyle{ p=19}\)
Następnie mamy \(\displaystyle{ 64n+29=0 (mod19) \wedge 111n+50=0(mod19)}\) I tutaj juz nie rozumiem następującego przejścia,
\(\displaystyle{ 7n+10=0(mod19) \wedge -3n-7=0(mod19)}\)
Prosiłbym bardzo o pomoc i cierpliwość.
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Znajdź n dla którego ułamek jest skracalny
Wytłumacz to sobie tak: szukamy takiej liczby \(\displaystyle{ p \ge 2}\), dla której licznik i mianownik dzielą się bez reszty czyli liczba \(\displaystyle{ 64n+29}\) musi dawać resztę 0 z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\), co zapisując w języku kongruencji: \(\displaystyle{ 64n+29 \equiv 0 \ \ (mod \ p)}\). Analogicznie z mianownikiem.Stary pisze: \(\displaystyle{ 64n+29=0(mod p) \wedge 111n+50=0}\)
Podejrzewam, że wzięło to się stąd że \(\displaystyle{ 64n+29}\) musi podzielić się przez \(\displaystyle{ p}\) bez reszty, natomiast \(\displaystyle{ 0}\) wzięło się stąd że podzielone przez \(\displaystyle{ p}\) również da nam liczbę bez reszty (dokładnie da nam 0 ).
\(\displaystyle{ 64n+29=19 \cdot 3 \cdot n + 7n+19 \cdot 1 + 10=19 \cdot (3n+1 )+7n+10}\)Następnie mamy \(\displaystyle{ 64n+29=0 (mod19) \wedge 111n+50=0(mod19)}\) I tutaj juz nie rozumiem następującego przejścia,
\(\displaystyle{ 7n+10=0(mod19) \wedge -3n-7=0(mod19)}\)
Ale wiemy, że: \(\displaystyle{ 64n+29 \equiv 0 \ \ (mod \ p)}\) no to: \(\displaystyle{ 19 \cdot (3n+1 )+7n+10 \equiv 0 \ \ (mod \ p)}\),ale \(\displaystyle{ 19 \cdot (3n+1 ) \equiv 0 \ \ (mod \ p)}\) zatem musi zachodzić: \(\displaystyle{ 7n+10 \equiv 0 \ \ (mod \ p)}\).
Analogicznie z przypadkiem drugim.