Jak pokazać, ze sumy postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{ \infty }{ \frac{a_i}{3^k} }}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_i = \{0,1,2\}}\) reprezentuja kazda liczbe z przedziału [0, 1]?
Rozwiniecie trójkowe liczby
-
szw1710
Rozwiniecie trójkowe liczby
Nasz szereg zapiszmy umownie w postaci \(\displaystyle{ 0,a_1a_2a_3\dots}\)
Weź dowolne \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\) i podziel ten przedział na 3 części. Pierwszą cyfrę \(\displaystyle{ 0}\) mają liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,frac{1}{3})}\), jedynkę liczby z \(\displaystyle{ [frac{1}{3},frac{2}{3})}\) itp.
Następnie podziel tę część, w której leży \(\displaystyle{ x}\) znów na 3 części i określ drugą cyfrę. Postępuj tak w nieskończoność i już.
Weź dowolne \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\) i podziel ten przedział na 3 części. Pierwszą cyfrę \(\displaystyle{ 0}\) mają liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,frac{1}{3})}\), jedynkę liczby z \(\displaystyle{ [frac{1}{3},frac{2}{3})}\) itp.
Następnie podziel tę część, w której leży \(\displaystyle{ x}\) znów na 3 części i określ drugą cyfrę. Postępuj tak w nieskończoność i już.
Rozwiniecie trójkowe liczby
Jakos nie widze w jaki sposob dowodzi to tezy. Niby dzielisz kazdy kolejny przedzial na trzy i sa one coraz mniejsze, daza nawet do zera ale jakos mocno szkicowy wydaje mi sie ten dowod.
-
szw1710
Rozwiniecie trójkowe liczby
Bo nie widzę powodu podawania całej wiedzy na talerzu. Wskazówka powinna wystarczyć. Masz rację: jest to tylko szkic. Szczegóły dla Ciebie
Rozwiniecie trójkowe liczby
wymyslilem cos normalnego Zalozmy, ze mamy do dyspozycji tylko liczby \(\displaystyle{ a_i = {0, 1}}\),
a wiec ciag \(\displaystyle{ 0,a_1a_2...}\) mozemy przedstawic podajac jedynie miejsca, w ktorych stoja jedynki, w pozostalych wiadomo, ze sa zera. Za przecinkiem mamy przeliczalnie wiele liczb, wiec zbiory okreslajace polozenia jedynek naleza do zbioru potegowego liczb naturalnych bo wszystkie podzbiory zbioru liczb naturalnych okreslaja nam jakies polozenie jedynek. No i znalazlem twierdzenie Cantora mowiace, ze zbior potegowy zbioru liczb naturalnych jest nieprzeliczalny, wiec takich liczb w rozwinieciu trojkowym z odjeta jedna cyfra jest nieprzeliczalnie wiele, wiec z dodana trzecia cyfra moze byc tylko wiecej. Nawiasem mowiac to takie rozwiniecia trojkowe bez jednej cyfry stanowia zbior Cantora, wiec jednoczesnie udowodnilismy, ze jest on nieprzeliczalny. Pozostaje maly niedosyt bo skorzystalem z twierdzenia Cantora, ktorego dowodu nie znam i nie potrafie zrobic. Moze ktos zna jakis prosty sposob dowiedzenia tego twierdzenia lub potrafi udowodnic fakt, ze liczb w rozwinieciu trojkowym jest nieprzeliczalnie wiele i ze "pokrywaja" one caly przedzial [0, 1]?
a wiec ciag \(\displaystyle{ 0,a_1a_2...}\) mozemy przedstawic podajac jedynie miejsca, w ktorych stoja jedynki, w pozostalych wiadomo, ze sa zera. Za przecinkiem mamy przeliczalnie wiele liczb, wiec zbiory okreslajace polozenia jedynek naleza do zbioru potegowego liczb naturalnych bo wszystkie podzbiory zbioru liczb naturalnych okreslaja nam jakies polozenie jedynek. No i znalazlem twierdzenie Cantora mowiace, ze zbior potegowy zbioru liczb naturalnych jest nieprzeliczalny, wiec takich liczb w rozwinieciu trojkowym z odjeta jedna cyfra jest nieprzeliczalnie wiele, wiec z dodana trzecia cyfra moze byc tylko wiecej. Nawiasem mowiac to takie rozwiniecia trojkowe bez jednej cyfry stanowia zbior Cantora, wiec jednoczesnie udowodnilismy, ze jest on nieprzeliczalny. Pozostaje maly niedosyt bo skorzystalem z twierdzenia Cantora, ktorego dowodu nie znam i nie potrafie zrobic. Moze ktos zna jakis prosty sposob dowiedzenia tego twierdzenia lub potrafi udowodnic fakt, ze liczb w rozwinieciu trojkowym jest nieprzeliczalnie wiele i ze "pokrywaja" one caly przedzial [0, 1]?
-
szw1710
Rozwiniecie trójkowe liczby
Powiem jeszcze, że przedstawiona przeze mnie metoda ideowo jest identyczna z zapisem dziesiątkowym, tylko wtedy dzielimy przedziały na 10 części. Pierwszą cyfrę po przecinku równą 0 mają liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,0.1)}\), jedynkę liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0.1,0.2)}\) itp. W ten sposób umieszczamy dowolnie ustalone \(\displaystyle{ xin [0,1)}\) w dokładnie jednym z przedziałów długości \(\displaystyle{ 0.1}\). Ten konkretny przedział dzielimy na 10 części określając drugą cyfrę. Np. jeśli \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}-1}\), to \(\displaystyle{ xin[0.4,0.5)}\), więc pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 4}\). Z kolei \(\displaystyle{ x=sqrt{2}-1in [0.41,0.42)}\), więc druga cyfra to \(\displaystyle{ 1}\). Chyba jasne jest, jak robimy dalsze podziały. Sprawa systemu ma tu znaczenie drugorzędne. Jeśli trójkowy, to dzielimy przedziały na \(\displaystyle{ 3}\) części. Dwójkowy - na dwie, szesnastkowy - na 16 itp.