Równanie modulo, algorytm Euklidesa

[croonx]

Czy poniższy przykłada jest prawidłowo zapisany ?

\(\displaystyle{ Oblicz \ 5x \ mod \ 8=1}\)

\(\displaystyle{ 5x \ mod \ 8=1 \\
5x \equiv 1(mod \ 8) \\
x \equiv 5 ^{-1}(mod \ 8) \\
\\
Algorytm \ Euklidesa \\
\\
8/5=1 \ reszty \ 3 \\
5/3=1 \ reszty \ 2 \\
3/2=1 \ reszty \ 1 \\
\\
Odwrotny \ algorytm \ Euklidesa \\
\\
1= \\
1*3-1*2= \\
1*3-1*(1*5-1*3)= \\
-1*5+2*3= \\
-1*5+2(1*8-1*5)= \\
2*8-3*5 \\
\\
x \equiv 5 ^{-1}(mod \ 8) \\
x \equiv 5^{-1}(2*8-3*5)(mod \ 8) \\
x \equiv 5^{-1}(2*8(mod \ 8)-3*5(mod \ 8)) \\
x \equiv 5^{-1}(0-3*5(mod \ 8)) \\
x \equiv -3(mod \ 8) \\
x \equiv 5(mod \ 8) \\}\)