Udowodnij że nie jest liczbą wymierną

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
artur007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Udowodnij że nie jest liczbą wymierną

Post autor: artur007 »

Witam,

na egzaminie będę miał polecenie:

Udowodnij że \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) nie jest liczbą wymierną.

Od czego w ogóle zacząć?
Przeglądałem forum i wiem że ma to związek z podzielnością liczby. Dobrze mówię?
Ostatnio zmieniony 19 cze 2010, o 17:19 przez Zordon, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Udowodnij że nie jest liczbą wymierną

Post autor: Zordon »

... dw%C3%B3ch
artur007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Udowodnij że nie jest liczbą wymierną

Post autor: artur007 »

Czytałem to już po kilka razy i nic z tego rozumiem. Ale dziękuję za pomoc.
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Udowodnij że nie jest liczbą wymierną

Post autor: Afish »

Załóżmy, że pierwiastek z trzech jest wymierny. Wtedy możemy go przedstawić jako
\(\displaystyle{ \frac{p}{q} = \sqrt{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są naturalne i względnie pierwsze. Podnosimy obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2} = 3\\
p^2 = 3*q^2}\)

Wychodzi nam, że \(\displaystyle{ p^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), a to jest możliwe tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem przedstawmy \(\displaystyle{ p}\) jako \(\displaystyle{ 3k}\) i podstawmy do naszej równości.
\(\displaystyle{ (3k)^2 = 3q^2\\
9k^2 = 3q^2\\
3k^2 = q^2}\)

Z tego otrzymujemy, że \(\displaystyle{ q^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), czyli że \(\displaystyle{ q}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, gdyż przyjęliśmy, że obie liczby są względnie pierwsze (czyli nie mogą być jednocześnie podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\)). Wypada jeszcze udowodnić, że liczba podniesiona do kwadratu jest podzielna przez trzy tylko wtedy, gdy wyjściowa liczba jest podzielna przez trzy, ale to już jest proste.
Citizen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 27 maja 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 36 razy

Udowodnij że nie jest liczbą wymierną

Post autor: Citizen »

Jeżeli nie łapiesz tamtego to można inaczej. Bierzesz wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}-3}\) ( wybierasz dowolnie "najłatwiejszy" wielomian tak aby jednym z jego pierwiastków była liczba której niewymierności chcesz dowieść) z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu wiemy, że jeżeli ten wielomian ma pierwiastki wymierne to musiałyby to być któreś ze zbioru \(\displaystyle{ {-3,-1,1,3}}\). Pierwiastkiem tego wielomianu jest \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jednak nie należy on do podanego wcześniej zbioru - jest więc niewymierny.
artur007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Udowodnij że nie jest liczbą wymierną

Post autor: artur007 »

o, rozwiązanie Afish'a zrozumiałem. Kolejny kroczek w kierunku inż. Informatyki bliżej. : ) Dzięki wszystkim. Citizen, fajny sposób. Pierwszy raz się z nim spotykam, ale nie wiem czy jest to dowód pośredni czy bezpośredni? bo na egzaminie musze podać bezpośredni.
ODPOWIEDZ