Przez co pomnożyć 99...9, żeby dostać same jedynki?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 12 cze 2010, o 21:55

Przez jaką liczbę całkowitą należy pomnożyć liczbę 999999999, aby otrzymać liczbę składającą się z samych jedynek?

Odpowiedź to 11...122...277...7277...788...8900...011...122...277...7277...788...8900...011...122...277...7277...788...89, gdzie cyfry 0, 1, 2 i 7 występują w grupach po 9 cyfr, a ósemek jest osiem.

Chodzi mi o sam sposób liczenia tego zadania. Dziękuję.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 13 cze 2010, o 02:00

tometomek91 pisze:Odpowiedź to 11...122...277...7277...788...8900...011...122...277...7277...788...8900...011...122...277...7277...788...89, gdzie cyfry 0, 1, 2 i 7 występują w grupach po 9 cyfr, a ósemek jest osiem.

Raczej nie. Odpowiedź to \(\displaystyle{ x=\frac{1}{9}\cdot\frac{10^n-1}{10^9-1},\ n=81k,\ k\in\mathbb{N}}\), a to nie jest to, co powyżej dla żadnego \(\displaystyle{ k}\).

Odpowiedź wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \left(10^9-1\right)|\left(10^n-1\right)\ \iff\ 9|n}\) oraz z tego, że w wyniku tego dzielenia uzyskujemy liczbę składającą się z samych zer i jedynek (dlaczego?) więc, aby była ona podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\), liczba jedynek musi być również wielokrotnością dziewiątki.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 13 cze 2010, o 09:44

Dzięki, ale taka odpowiedz była w krowie Pawłowskiego.