Liczby nieparzyste, a reszta kwadratowa

[wima]

Witam

mam jeszcze jeden problem i bardzo proszę o chocby sugestie w rozwiązaniu:

jezeli p jest liczbą nieparzystą i ab,p równa się 1, udowodnij ze a, b albo ab jest resztą kwadratową p.

dziekuje i pozdrawiam

[Inkwizytor]

i ab,p równa się 1,

Nie rozumiem tego zapisu

udowodnij ze a, b albo ab jest resztą kwadratową p.

Czy a przecinek b oznacza a LUB b czy a I b? I czy na pewno jest tam ALBO? (w matematyce ALBO/LUB to dwa różne spójniki)

[wima]

(ab,p) = 1

a jezeli chodzi o drugą wątpliwość to w tresci zadania jest dokladnie a, b lub ab - z tego co ja rozumiem to jest a i b lub ab

bede wdzieczna za pomoc i dziekuje za zainteresowanie

pozdrawiam

[Wasilewski]

Podejrzewam, że teza jest taka, iż któraś z tych trzech liczb jest resztą kwadratową.
Jeśli któraś z liczb a, b jest resztą kwadratową, to koniec. Jeśli nie, to:
\(\displaystyle{ a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod p \\
b^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod p \\
(ab)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod p}\),
czyli \(\displaystyle{ ab}\) jest resztą kwadratową.

[wima]

Dziekuje bardzo za pomoc!
Mam tylko pytanie w jakiej formie zapisac ta czesc odpowiedzi: "jezeli ktoras z liczb a, b jest reszta kwadratowa to koniec"
niestety jezeli chodzi o matematyke to nie jest to moja dziedzina a staram sie pomoc kolezance ktora ma egzamin i chwytamy sie wszelkich mozliwych sposobow by znalezc rozwiazanie. Niedokladne przetlumaczenie tresci zadania wynika z braku znajomosci tematu przeze mnie. Z tego co ona mowi to rzeczywiscie w tezie jest ze ktoras z tych liczb jest reszta kwadratowa.
Pozdrawiam serdecznie

[Wasilewski]

Mam tylko pytanie w jakiej formie zapisac ta czesc odpowiedzi: "jezeli ktoras z liczb a, b jest reszta kwadratowa to koniec"

No cóż, właśnie w ten sposób można napisać.
Można też spróbować nie wprost. Załóżmy, że wszystkie te trzy liczby są nieresztami kwadratowymi modulo p, wówczas:
\(\displaystyle{ a^{\frac{p-1}{2}} \equiv = -1 \pmod p \\
b^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod p \\
(ab)^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod p}\).
Jednak, jak pomnożymy stronami, to otrzymamy
\(\displaystyle{ (ab)^{p-1} \equiv -1 \pmod p}\),
a zatem sprzeczność z małym twierdzenie Fermata.

Przepraszam, właśnie doczytałem, że p jest nieparzysta, ale niekoniecznie pierwsza, w takim razie to, co napisałem, nie rozwiązuje zadania.

[wima]

Dziekuje bardzo za pomoc w rozwiazywaniu zadania i mam dodatkowe pytanie czy jezeli p jest liczba pierwsza nieparzysta to bedzie to prawidlowe rozwiazanie? Byc moze ze to kolejny blad w tlumaczeniu a juz dzis nie mam kontaktu z kolezanka zeby to potwierdzic.
Dziekuje jeszcze raz!!!
Pozdrawiam!