diofantyczne równanie

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 26 paź 2006, o 21:44

\(\displaystyle{ 9x^2-39x+40=y^2}\)

Marcin88 · Post autor: **Marcin88** » 27 paź 2006, o 20:21

Równanie jest równoważne kolejno równaniom:
\(\displaystyle{ 36x^2-2\cdot6\cdot13x+160=(2y)^2\: \: (6x-13)^2-9=(2y)^2\: \: (6x-13-2y)(6x-13+2y)=9}\)
Przyjmując \(\displaystyle{ y\geq0}\) wystarczy rozpatrzeć cztery przypadki rozłożenia liczby 9 na dwa czynniki całkowite. Rozwiązaniem są pary \(\displaystyle{ (x,y)\in \{(3, 2), (3, -2)\}}\)

niewiadomo · Post autor: **niewiadomo** » 27 paź 2006, o 20:37

a można wiedziec jak na to wpadłeś? bo tak jakoś śmiesznie łatwo to wygląda a zrobić ciężko...

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 28 paź 2006, o 14:15

To co zauważył Marcin88 akurat nie jest takie trudne, tylko że On to napisał "od tyłu" żeby było ładnie zapisane. Bo mechanicznie robisz tak: wymuszasz kwadrat czegoś plus/minus ewentualne coś "reszty" po lewej, przenosisz resztę na prawo, y� na lewo, po drodze jeszcze przemnażając obustronnie przez coś żeby mieć wszędzie liczby całkowite, masz różnicę kwadratów, którą przedstawiasz iloczynowo i koniec. Czyli:
\(\displaystyle{ 9x^{2}-39x+40=y^{2}\\(3x-6,5)^{2}-2,25=y^{2}\,/\cdot4=2^{2}\\(6x-13)^{2}-4y^{2}=9}\)
a dalej tak jak wyżej. (wymuszając kwadrat czegoś po lewej oczywiście skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy \(\displaystyle{ a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}\) kierując się tym, że chcemy żeby było \(\displaystyle{ a^{2}=9x^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 2ab=39x}\); ""reszta" którą trzeba było odjąć sama się znalazła)

niewiadomo · Post autor: **niewiadomo** » 28 paź 2006, o 15:08

dzieki, rozumiem

Marcin88 · Post autor: **Marcin88** » 28 paź 2006, o 23:08

Dokładnie tak jak napisał DEXiu