Wyszukiwanie liczb pierwszych

[Hirakata]

Dwa zadania dotyczące liczb pierwszych:

1. Znajdź 7 różnych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_{1}}\), \(\displaystyle{ p_{2}}\), \(\displaystyle{ p_{3}}\), \(\displaystyle{ p_{4}}\), \(\displaystyle{ p_{5}}\), \(\displaystyle{ p_{6}}\) i \(\displaystyle{ p_{7}}\) mniejszych od 1000, takich że
\(\displaystyle{ p_{2}-p_{1}=p_{3}-p_{2}=p_{4}-p_{3}=p_{5}-p_{4}=p_{6}-p_{5}=p_{7}-p_{6}}\).

2. Wyznacz wszystkie pary (\(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ q}\)) liczb pierwszych, dla których \(\displaystyle{ pq | 2^{p} + 2^{q}}\).

[szatkus]

Komputer znalazł: 7 157 307 457 607 757
a co do drugiego to znalazło tylko (2, 3).

[Hirakata]

Dzięki za pomoc, ale interesuje mnie także ręczny sposób rozwiązania owych zadań, bez uciekania się maszynowego szukania wyników.

[sushi]

co do 1. to powodzenia w recznym szukaniu

co do 2. to niech p<q

\(\displaystyle{ 2^p +2^q= 2^p(1+2^{q-p})}\) pierwszy czynnik jest liczba parzysta, drugi nieparzysta

teraz trzeba by bylo rozpatrzec przypadki:

jezeli przyjmiemy \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) jako obie nieparzyste to ...