Znajdź wszystkie naturalne rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ \frac{ k^{l} }{ l^{k} } = \frac{k!}{l!}}\) , gdzie k,l są naturalne.
Próbowałem, ale ciągle mi nie wychodzi. Ma ktoś jakiś pomysł?
Z góry dziękuję, Wojtek.
Znaleść rozwiązania
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Znaleść rozwiązania
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ k=l}\) to równanie jest spełnione.
Zajmijmy się przypadkiem \(\displaystyle{ k\neq l}\).
Możemy założyć, że \(\displaystyle{ k > l}\) ewentualnie biorąc odwrotności obu stron (prawa strona jest niezerowa).
Wówczas prawa strona jest całkowita.
W szczególności \(\displaystyle{ l^{k}\mid k^{l}}\).
Stąd \(\displaystyle{ l^{l}\mid k^{l}}\), więc liczba \(\displaystyle{ \left(\frac{k}{l}\right)^{l}}\) jest całkowita, a zatem \(\displaystyle{ l\mid k}\).
Zapiszmy \(\displaystyle{ k = ql}\).
Musi być \(\displaystyle{ q > 1}\), bo \(\displaystyle{ k > l}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ l^{ql}\mid (ql)^{l}}\), to liczba \(\displaystyle{ \left(\frac{ql}{l^{q}}\right)^{l}}\) jest całkowita, zatem \(\displaystyle{ l^{q}\mid ql}\) czyli \(\displaystyle{ l^{q-1}\mid q}\).
Ponieważ dla \(\displaystyle{ q > 2}\) mamy \(\displaystyle{ 2^{q-1}> q}\) (można to udowodnić indukcynie po \(\displaystyle{ q}\)), to \(\displaystyle{ l = 1}\) lub \(\displaystyle{ q = 2}\).
\(\displaystyle{ l = 1}\) prowadzi do \(\displaystyle{ k = k!}\), czyli \(\displaystyle{ k \in \{1,2\}}\).
\(\displaystyle{ q = 2}\) na mocy podzielności \(\displaystyle{ l^{2-1}\mid 2}\) prowadzi do rozpatrzonego już przypadku \(\displaystyle{ l = 1}\) lub do \(\displaystyle{ l = 2}\), ale wtedy \(\displaystyle{ k =4}\) i jak łatwo sprawdzić badana równość wówczas nie zachodzi.
Ostatecznie \(\displaystyle{ k = l}\) lub \(\displaystyle{ l =1, \ k=2}\) lub \(\displaystyle{ l = 2,\ k = 1}\)
Zajmijmy się przypadkiem \(\displaystyle{ k\neq l}\).
Możemy założyć, że \(\displaystyle{ k > l}\) ewentualnie biorąc odwrotności obu stron (prawa strona jest niezerowa).
Wówczas prawa strona jest całkowita.
W szczególności \(\displaystyle{ l^{k}\mid k^{l}}\).
Stąd \(\displaystyle{ l^{l}\mid k^{l}}\), więc liczba \(\displaystyle{ \left(\frac{k}{l}\right)^{l}}\) jest całkowita, a zatem \(\displaystyle{ l\mid k}\).
Zapiszmy \(\displaystyle{ k = ql}\).
Musi być \(\displaystyle{ q > 1}\), bo \(\displaystyle{ k > l}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ l^{ql}\mid (ql)^{l}}\), to liczba \(\displaystyle{ \left(\frac{ql}{l^{q}}\right)^{l}}\) jest całkowita, zatem \(\displaystyle{ l^{q}\mid ql}\) czyli \(\displaystyle{ l^{q-1}\mid q}\).
Ponieważ dla \(\displaystyle{ q > 2}\) mamy \(\displaystyle{ 2^{q-1}> q}\) (można to udowodnić indukcynie po \(\displaystyle{ q}\)), to \(\displaystyle{ l = 1}\) lub \(\displaystyle{ q = 2}\).
\(\displaystyle{ l = 1}\) prowadzi do \(\displaystyle{ k = k!}\), czyli \(\displaystyle{ k \in \{1,2\}}\).
\(\displaystyle{ q = 2}\) na mocy podzielności \(\displaystyle{ l^{2-1}\mid 2}\) prowadzi do rozpatrzonego już przypadku \(\displaystyle{ l = 1}\) lub do \(\displaystyle{ l = 2}\), ale wtedy \(\displaystyle{ k =4}\) i jak łatwo sprawdzić badana równość wówczas nie zachodzi.
Ostatecznie \(\displaystyle{ k = l}\) lub \(\displaystyle{ l =1, \ k=2}\) lub \(\displaystyle{ l = 2,\ k = 1}\)