Wyznacz ostatnie dwie cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby

De Moon · Post autor: **De Moon** » 31 maja 2010, o 18:59

Wyznacz ostatnie dwie cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ 7^{9^{9^9}}}\)

wojtekcz · Post autor: **wojtekcz** » 31 maja 2010, o 20:26

Nie jestem pewien ale prawdopodobnie wygląda to tak.

\(\displaystyle{ 7^{9^{9^{9}}}}\) to inaczej \(\displaystyle{ 7^{729}}\). Skoro mamy poznać dwie ostatnie liczby to musimy wziąć (mod100). Zatem po krótkich obliczeniach \(\displaystyle{ 7^{4}}\) przystaje do \(\displaystyle{ 1(mod100)}\) ~ ponieważ \(\displaystyle{ 7^{4}=2401}\). Więc \(\displaystyle{ (7^{4})^{182}}\) przystaje do \(\displaystyle{ (1)^{182}(mod100)}\). Oczywiście \(\displaystyle{ (1)^{182}=1}\). Brakuje nam jednej potęgi zatem, skoro 7 przystaje do 7, więc \(\displaystyle{ (7^{4})^{182} *7}\) przystaje do \(\displaystyle{ 1*7=7(mod100)}\). Stąd ostanie dwie cyfry liczby \(\displaystyle{ 7^{9^{9^{9}}}}\) to \(\displaystyle{ "07"}\).

abc666 · Post autor: **abc666** » 31 maja 2010, o 21:47

\(\displaystyle{ 9^{9^9}}\) to nie jest \(\displaystyle{ 729}\)

A zadanie było na pewno na forum tylko nie mogę znaleźć. Chyba jako zadanie z jakiegoś konkursu.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 31 maja 2010, o 21:48

wojtekcz pisze:\(\displaystyle{ 7^{9^{9^{9}}}}\) to inaczej \(\displaystyle{ 7^{729}}\).

Oj, \(\displaystyle{ 9^{9^{9}}\neq 9\cdot 9\cdot 9}\) (tam nie ma nawiasów, więc wzór \(\displaystyle{ (a^b)^c=a^{bc}}\) nie stosuje się).

JK

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 1 cze 2010, o 20:45

\(\displaystyle{ 9^{9^{9}}=4k+1}\) zatem
\(\displaystyle{ 7^{9^{9^{9}}}=7^{4k+1}=7\cdot (2401)^{k}\equiv 7 \ (mod100)}\)...

De Moon · Post autor: **De Moon** » 1 cze 2010, o 21:01

Dlaczego \(\displaystyle{ 9^{9^{9}} = 4k+1}\) ?

smigol · Post autor: **smigol** » 1 cze 2010, o 21:18

bo \(\displaystyle{ 9=4l+1}\).

dziubo1 · Post autor: **dziubo1** » 7 cze 2010, o 21:12

smigol pisze:bo \(\displaystyle{ 9=4l+1}\).

Nieprawda np:
dla \(\displaystyle{ l=1}\)
\(\displaystyle{ 9 \neq 5}\)

smigol · Post autor: **smigol** » 7 cze 2010, o 22:42

dziubo1 pisze:
smigol pisze:bo \(\displaystyle{ 9=4l+1}\).
Nieprawda np:
dla \(\displaystyle{ l=1}\)
\(\displaystyle{ 9 \neq 5}\)

Nie wiem czy mam to komentować, czy co robić...

Spójrz na konstekst i się domyśl o co chodzi. Z resztą nigdzie nie napisałem, że to ma być spełnione dla każdego l, więc bye, bye

Post autor: **Jan Kraszewski** » 8 cze 2010, o 08:53

Cóż, mylenie kwantyfikatorów jest w szkole powszechne, choć częściej w drugą stronę...

JK