Znajdź wszystkie naturalne rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ \frac{ k^{l} }{ l^{k} } = \frac{k!}{l!}}\) , gdzie k,l są naturalne.
Próbowałem, ale ciągle mi nie wychodzi. Ma ktoś jakiś pomysł?
Z góry dziękuję, Wojtek.-- 2 cze 2010, o 21:44 --Nikt? :O
Znajdź wszystkie naturalne rozwiązania równania:
-
krystianx
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 23 gru 2009, o 21:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: internet
Znajdź wszystkie naturalne rozwiązania równania:
Zadanie wydaje się banalnie proste, chociaż może jest tu jakiś haczyk.
Po pierwsze rozwiązaniami są wszystkie naturalne k, takie, że \(\displaystyle{ k=l}\)
Po drugie jeżeli \(\displaystyle{ l < k \wedge l \neq 1 \wedge l\neq k \wedge \left( l \neq 2 \vee k \neq 3 \right)}\) to
\(\displaystyle{ l ^{k}>k^{l} \wedge l! < k!}\)
z czego wynika sprzeczność tego równania
\(\displaystyle{ \frac{ k^{l} }{ l^{k} } = \frac{k!}{l!}}\)
Jeśli chodzi o pozostałe wykluczone przypadki, to dla \(\displaystyle{ l=1}\).
\(\displaystyle{ \frac{k}{1}=\frac{k!}{1}}\)
\(\displaystyle{ k=k!}\)
\(\displaystyle{ k \in {1,2}}\)
Dla \(\displaystyle{ l=2, k=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{8}{9} \neq \frac{2}{6}}\)
Reasumując
\(\displaystyle{ k \in N, l=k \vee l=1, k=2}\)
Po pierwsze rozwiązaniami są wszystkie naturalne k, takie, że \(\displaystyle{ k=l}\)
Po drugie jeżeli \(\displaystyle{ l < k \wedge l \neq 1 \wedge l\neq k \wedge \left( l \neq 2 \vee k \neq 3 \right)}\) to
\(\displaystyle{ l ^{k}>k^{l} \wedge l! < k!}\)
z czego wynika sprzeczność tego równania
\(\displaystyle{ \frac{ k^{l} }{ l^{k} } = \frac{k!}{l!}}\)
Jeśli chodzi o pozostałe wykluczone przypadki, to dla \(\displaystyle{ l=1}\).
\(\displaystyle{ \frac{k}{1}=\frac{k!}{1}}\)
\(\displaystyle{ k=k!}\)
\(\displaystyle{ k \in {1,2}}\)
Dla \(\displaystyle{ l=2, k=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{8}{9} \neq \frac{2}{6}}\)
Reasumując
\(\displaystyle{ k \in N, l=k \vee l=1, k=2}\)