Dowod (prostej?) nierownosci

[Yrch]

Licze sobie zadanko z przestrzeni metrycznych i w pewnym momencie musze sprawdzic, czy:
\(\displaystyle{ \forall_{k,m,n\in N}}\)\(\displaystyle{ \left{\begin \frac{1}{1+min(k,m)}\ k\neq m\\0\ k=m}\)\(\displaystyle{ \leq}\) \(\displaystyle{ \left{\begin \frac{1}{1+min(k,n)}\ k\neq n\\0\ k=n}\)\(\displaystyle{ +}\)\(\displaystyle{ \left{\begin \frac{1}{1+min(n,m)}\ n\neq m\\0\ n=m}\)
(nierownosc trojkata). Z poczatku chcialem poleciec przypadkami, ale byloby to troche dlugie. Jak mozna szybciej? Tak intuicyjnie to wyglada mi to na prawde, ale moja intuicja moze mnie zawodzic.

[mol_ksiazkowy]

Jesli ktores liczby k.m n sa równe to nie ma sprawy....a jesli istotnie są parami różne, to wtedy, po prawej stronie nierównosci jaką wypisałes wystapi składnik \(\displaystyle{ \frac{1}{1+ min(k,m,n)}}\) tak ze bedzie dobrze