1) Dla każdej liczby pierwszej p różnej od 2 i 5 , p dzieli nieskończenie wiele wyrazów ciągu 1, 11, 111, 1111...
2) w ciągu \(\displaystyle{ a_n=10^n+3}\) istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych
w zadaniu pierwszym zapisałam sobie kolejne wyrazy ciagu jako \(\displaystyle{ a_n= \sum_{i=1}^{n}10^{i-1}}\) ale chyba nic mi to nie daje...
Prosze o pomoc
liczba pierwsza dzieli nieskonczenie wiele wyrazów ciagu..
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
liczba pierwsza dzieli nieskonczenie wiele wyrazów ciagu..
Wskazówki:
W pierwszym rozważ \(\displaystyle{ p}\) liczb:
\(\displaystyle{ 1 \\
11 \\
111 \\
\dots \\
\underbrace{11\ldots 1}_{p}}\)
i użyj zasady szufladkowej Dirichleta.
W drugim - pokaż, że dla \(\displaystyle{ n=6k+4}\) ta liczba jest podzielna przez siedem.
Q.
W pierwszym rozważ \(\displaystyle{ p}\) liczb:
\(\displaystyle{ 1 \\
11 \\
111 \\
\dots \\
\underbrace{11\ldots 1}_{p}}\)
i użyj zasady szufladkowej Dirichleta.
W drugim - pokaż, że dla \(\displaystyle{ n=6k+4}\) ta liczba jest podzielna przez siedem.
Q.
-
Sosik
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 10 kwie 2008, o 20:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z daleka
- Pomógł: 1 raz
liczba pierwsza dzieli nieskonczenie wiele wyrazów ciagu..
bardzo dziękuję, z drugim sobie poradziłam dzięki wskazówce.
Z Pierwszym niestety mam problem: nie bardzo rozumiem pomysł wykorzystania zasady szufladkowej Dirichleta...chyba po prostu nie rozumiem tej zasady... Przydzielam odpowiednie wyrazy ciągu do "szufladek" które prezentują reszty z dzielenia przez p? czy mogę mieć pewność że dla każdej liczby pierwszej szufladka z reszta 0 zawiera jakiś element?
np. dla p=7 reszty z dzielenia kolejnych wyrazów z tego ciągu będą wynosić kolejno: \(\displaystyle{ \{1,4,6,5,2,0,1,4,6..\}}\) a więc szufladka z reszta 3 będzie pusta. Czy nie może się tak zdarzyć że dla jakieś liczby pierwszej szufladka z reszta zero będzie pusta? i wtedy zdanie nie jest prawdziwe.
Proszę o pomoc
Z Pierwszym niestety mam problem: nie bardzo rozumiem pomysł wykorzystania zasady szufladkowej Dirichleta...chyba po prostu nie rozumiem tej zasady... Przydzielam odpowiednie wyrazy ciągu do "szufladek" które prezentują reszty z dzielenia przez p? czy mogę mieć pewność że dla każdej liczby pierwszej szufladka z reszta 0 zawiera jakiś element?
np. dla p=7 reszty z dzielenia kolejnych wyrazów z tego ciągu będą wynosić kolejno: \(\displaystyle{ \{1,4,6,5,2,0,1,4,6..\}}\) a więc szufladka z reszta 3 będzie pusta. Czy nie może się tak zdarzyć że dla jakieś liczby pierwszej szufladka z reszta zero będzie pusta? i wtedy zdanie nie jest prawdziwe.
Proszę o pomoc
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
liczba pierwsza dzieli nieskonczenie wiele wyrazów ciagu..
Niech \(\displaystyle{ \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}}\) będzie ciągiem, którego kolejne wyrazy są określone rekurencyjnie \(\displaystyle{ a_{1}=1 \ a_{n+1}=10a_{n}+1}\)
Załóżmy, że jest tylko skończenie wiele wyrazów t. że \(\displaystyle{ p|a_{n}}\)
Oczywistym jest, że istnieje \(\displaystyle{ r\in \{1,2,...,p-1\}}\), t. że istnieje \(\displaystyle{ \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty}}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ a_{b_{n}}\equiv r \ (mod p)}\)
Niech \(\displaystyle{ b_{1}=x}\) i \(\displaystyle{ c_{n}=b_{n}-x}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ p|(a_{b_{n}}-a_{x})=10^{x}a_{c_{n}}}\) zatem \(\displaystyle{ p|a_{c_{n}}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ \ \mathbb{Q.E.D.}}\)
Pozdrawiam
Załóżmy, że jest tylko skończenie wiele wyrazów t. że \(\displaystyle{ p|a_{n}}\)
Oczywistym jest, że istnieje \(\displaystyle{ r\in \{1,2,...,p-1\}}\), t. że istnieje \(\displaystyle{ \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty}}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ a_{b_{n}}\equiv r \ (mod p)}\)
Niech \(\displaystyle{ b_{1}=x}\) i \(\displaystyle{ c_{n}=b_{n}-x}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ p|(a_{b_{n}}-a_{x})=10^{x}a_{c_{n}}}\) zatem \(\displaystyle{ p|a_{c_{n}}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ \ \mathbb{Q.E.D.}}\)
Pozdrawiam