Zadanie z liczbami względnie pierwszymi

SoD · Post autor: **SoD** » 4 lis 2004, o 21:06

Liczby całkowite dodatnie a,b,c są parami wzglednie pierwsze oraz spełniają równanie a^2 + b^2 = c^2 liczby a i c są nieparzyste. Udowodnij że b+c jest kwadratem liczby całkowitej.

Arek · Post autor: **Arek** » 5 lis 2004, o 15:30

A podstawiałeś te warunki do rozwiązań ogólnych równania Pitagorasa? To bardzo pomoże...

SoD · Post autor: **SoD** » 5 lis 2004, o 22:27

Podstawiałem warunki że sa nieparzyste
Ale nie za wiele to dało ,
jeszcze skorzystalem ze wzoru na różnice kwadratów i jeszcze do końca nie doszedłem:

c^2 - b^2 = a^2
(c-b)(c+b) = a^2
c+b = a^2 / (c-b)

Ale dalej nie wiem

Nie wiem jak podstawic to że są parami względnie pierwsze, jak z tego skorzystać.

Arek · Post autor: **Arek** » 6 lis 2004, o 18:04

nie nie... wygogluj sobie równanie Pitagorasa, a zobaczysz skąd warunek, że mają byc względnie pierwsze

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 6 lis 2004, o 18:08

a^2 + b^2 = c^2 istnieja takie m,n nalezace do calkowitych dodatnich
ze a = m^2 - n^2
b = 2mn
c = m^2 + n^2

SoD · Post autor: **SoD** » 7 lis 2004, o 18:48

Dobra dzieki juz wiem jak to zrobić!

półpasiec · Post autor: **półpasiec** » 7 lis 2004, o 21:23

bez wzorow z m,n
zapisz a2=(c-b)(c+b)
gdyby c+b nie bylo kwadratem to musialoby byc podzielne przez pewna liczbe pierwsza p o wykladniku nieparzystym, ale lewa strona ma wszystkie dzielniki pierwsze w potedze o wykladniku parzystym, zatem
c-b tez jest przez p podzielne, tym samym a, zatem
p|c-b
p|c+b
p|2c
ale p nie moze byc rowne 2, bo a jest nieparzyste, nie moze tez dzielic c, bo c i a sa wzglednie pierwsze. sprzecznosc