Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że....

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Who knew
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 7 kwie 2005, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Amityville
Podziękował: 1 raz

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że....

Post autor: Who knew »

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że p+4 jest kwadratem liczby naturalnej. Jak znaleźć WSZYSTKIE? Jak to możliwe?
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że....

Post autor: max »

\(\displaystyle{ p + 4 = k^{2}, k N}\)
\(\displaystyle{ p = (k - 2)(k + 2)}\)
Skoro p ma być liczbą pierwszą to \(\displaystyle{ min(k - 2, k + 2) = 1}\). Ponieważ \(\displaystyle{ k N}\), to \(\displaystyle{ min(k - 2, k + 2) = k - 2}\)
Stąd \(\displaystyle{ k = 3}\)
Sprawdzamy czy dla \(\displaystyle{ k = 3}\) jest \(\displaystyle{ p = (k - 2)(k + 2)}\) pierwsze.
Po podstawieniu mamy \(\displaystyle{ p = 5}\)
Zatem 5 jest jedyną liczbą pierwszą spełniającą powyższe warunki.
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że....

Post autor: Calasilyar »

\(\displaystyle{ p+4=(n+2)^{2}\\
p+4=n^{2}+4n+4\\
p=n(n+4)}\)

a ponieważ p jest l. pierwszą to:
n=1 lub n+4=1
n=1 ok, gdyż p=5 jest l. pierwszą
n=-3 nie, gdyż p=-3 nie jest l. pierwszą

tak więc jedyną taką liczbą pierwszą p jest p=5

tak chyba też można
Who knew
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 7 kwie 2005, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Amityville
Podziękował: 1 raz

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że....

Post autor: Who knew »

Nie rozumiem czemu liczba naturalna jest zapisana jako n+2?
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że....

Post autor: Calasilyar »

tzn. przyjąłem sobie kwadrat liczby większej o 2 od jakiejś tam n żeby było wygodnie ten sam wynik będzie jak sobie weźmiesz \(\displaystyle{ (n-2)^{2}}\).
Awatar użytkownika
DEXiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że....

Post autor: DEXiu »

Who knew ==> Calasilyar już wyjaśnił - zapisał liczbę naturalną jako n+2 aby było potem wygodniej (chociaż to bardzo "sztuczne" podejście do sprawy i przez to nieco trudniejszy bo nie wiadomo skąd się to wzięło) - no bo właściwie czemu nie można by tak jej zapisać? Nikt nam nie broni tylko trzeba uważać przy takich kombinacjach na założenia
ODPOWIEDZ