System 1,5-owy

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

System 1,5-owy

Post autor: matemix »

Ile i jakie liczby są potrzebne do zapisu liczb w systemie 1,5-owym*? Jak się to wyznacza dla dowolnego przypadku?


system 1,5-owy* - klasyczny pozycyjny system liczbowy, tyle, że o podstawie 1,5
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

System 1,5-owy

Post autor: JakimPL »

... i.C4.99tny - to na pytanie ile.

Jeżeli taki jest system funkcjonuje, to każdą liczbę da się zapisać

\(\displaystyle{ a = 1,5^{-l} \cdot i_{-l} \ +\ \ldots \ +\ i_{-2} \cdot 1,5^{-2} \ +\ i_{-1} \cdot 1,5^{-1} \ +\ i_0 \cdot 1,5^0 \ +\ i_2 \cdot 1,5^1 \ +\ i_3 \cdot 1,5^2 \ +\ \ldots \ +\ i_k \cdot 1,5^k}\)

Gdzie \(\displaystyle{ i\in\ldots}\). No właśnie, trzeba zdefiniować. I tu problem, bo ja osobiście się z niecałkowitym systemem nie spotkałem, a każdy inny dotychczas miał tylko i wyłącznie liczby całkowite w zbiorze liczb \(\displaystyle{ i}\).

W całkowitych systemach pozycyjnych o podstawie \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ i\in\lbrace 0,1,\ldots ,n-1\rbrace}\).
Awatar użytkownika
erina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 38 razy

System 1,5-owy

Post autor: erina »

Ja bym powiedziała, że \(\displaystyle{ i =}\) 0 lub 1, jak w dwójkowym. Po prostu liczby całkowite wyjdą nam z niepustym rozwinięciem po przecinku.
Na przykład: \(\displaystyle{ 2=1,5+0,5=1,5+(1,5)^{-2}+ \frac{1}{18} =\dots}\) i można to sobie dalej rozwijać.

A ogólnie: pojawią się cyfry \(\displaystyle{ 0, 1, \dots, \lceil x-1\rceil}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest podstawą.
Tylko (dla niecałkowitych \(\displaystyle{ x}\)) niektóre rozwinięcia nam się nie pojawią, konkretniej to nie wystąpią (czy raczej - będą oznaczać liczbę, która ma też inne rozwinięcie) liczby mające odpowiednio długie ciągi cyfr \(\displaystyle{ \lceil x-1\rceil}\), bo dla pewnego n będzie
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \lceil x-1\rceil (x^{-i}) \geq x}\)
Po prostu wyjdzie nam skończona wersja tego "problemu", że \(\displaystyle{ 0,9999\dots=1,000\dots}\)
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

System 1,5-owy

Post autor: matemix »

JakimPL pisze: ... i.C4.99tny - to na pytanie ile.
Na pewno? Tam jest mowa o tym, że gdy mamy dowolną liczbę \(\displaystyle{ x}\) w systemie dziesiętnym i chcemy wiedzieć ile ta liczba ma minimalnie cyfr przed przecinkiem to wystarczy obliczyć logarytm o podstawie 10, zaokrąglić wynik w dół i dodać 1. Natomiast jeśli chcemy sie dowiedzieć ile owa liczba ma minimalnie cyfr przed przecinkiem w systemie b-owym, to należy użyć logarytmu o podstawie b. Tymczasem moje pytanie dotyczy tego ile liczb jest potrzebnych, aby móc wyrazić dowolną liczbę w systemie 1,5-owym i jakie to liczby.

Weźmy przykłady. W systemie dziesiętnym do zapisu dowolnej liczby wystarczy 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, gdy zabraknie np. liczby 9 nie będziemy w stanie zapisać w tym systemie dowolnej liczby. W systemie dwójkowym potrzeba tylko liczb: 0 i 1. W systemie piątkowym: 0, 1, 2, 3, 4.
JakimPL pisze:Gdzie \(\displaystyle{ i\in\ldots}\). No właśnie, trzeba zdefiniować. I tu problem, bo ja osobiście się z niecałkowitym systemem nie spotkałem
Ja też nie, dopóki na to nie wpadłem.
JakimPL pisze:W całkowitych systemach pozycyjnych o podstawie \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ i\in\lbrace 0,1,\ldots ,n-1\rbrace}\).
Racja i nie oblicza się tego za pomocą żadnego logarytmu


erina pisze:Ja bym powiedziała, że \(\displaystyle{ i =}\) 0 lub 1, jak w dwójkowym. Po prostu liczby całkowite wyjdą nam z niepustym rozwinięciem po przecinku.
Na przykład: \(\displaystyle{ 2=1,5+0,5=1,5+(1,5)^{-2}+ \frac{1}{18} =\dots}\) i można to sobie dalej rozwijać.
Nie rozumiem... Jak dla mnie strony równania się nie zgadzają...

Jeśli chcemy wyrazić liczbę 2 za pomocą tego systemu to możemy to zapisać np tak:

\(\displaystyle{ 2/3 \cdot 1,5^{1}+ 1 \cdot 1,5^{0}= \frac {2}{3}1}\)

ale można też tak:

\(\displaystyle{ 1 \cdot 1,5^{1}+ 1/2 \cdot 1,5^{0}= 1 \frac {1}{2}}\)
erina pisze:A ogólnie: pojawią się cyfry \(\displaystyle{ 0, 1, \dots, \lceil x-1\rceil}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest podstawą.
Tylko (dla niecałkowitych \(\displaystyle{ x}\)) niektóre rozwinięcia nam się nie pojawią, konkretniej to nie wystąpią (czy raczej - będą oznaczać liczbę, która ma też inne rozwinięcie) liczby mające odpowiednio długie ciągi cyfr \(\displaystyle{ \lceil x-1\rceil}\), bo dla pewnego n będzie
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \lceil x-1\rceil (x^{-i}) \geq x}\)
Po prostu wyjdzie nam skończona wersja tego "problemu", że \(\displaystyle{ 0,9999\dots=1,000\dots}\)
Właściwie to nic nie zrozumiałem i nie widzę odpowiedzi na moje pytanie...


Oczywiście na pewno zbiór liczb o który pytam nie będzie zbiorem liczb całkowitych. Właściwie nie wiem nawet czy będzie zbiorem skończonym. Myślałem może, że już ktoś kiedyś wymyślił zgrabny wzór rozwiązujący takie problemy, ale wygląda na to, że nie, więc będzie trzeba trochę nad tym pomyśleć.
Ostatnio zmieniony 7 maja 2010, o 10:10 przez matemix, łącznie zmieniany 1 raz.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

System 1,5-owy

Post autor: »

matemix pisze:system 1,5-owy* - klasyczny pozycyjny system liczbowy, tyle, że o podstawie 1,5
Zdefiniuj obiekt o którym piszesz, w szczególności określ jakie liczby chciałbyś zapisywać w jakiś sposób związany z liczbą \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) oraz określ co to za sposób. Bo naturalnej analogii z systemami pozycyjnymi nie ma.

Q.
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

System 1,5-owy

Post autor: JakimPL »

Na pewno? Tam jest mowa o tym [...]
Zrozumiałem pytanie ile w sposób "ile liczb należy użyć, aby rozpisać w tym systemie \(\displaystyle{ x}\)". Nie w to uderzałem .

Co do innego posta: chodziło o to, że tak jak w systemie dziesiętnym pewnych liczb, jak \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), nie zapiszemy w skończonej postaci, tak i dlatego systemu pozycyjnego niektóre skończone liczby dziesiętne będą nieskończenie długimi ciągami, jeśli \(\displaystyle{ i \in \lbrace 0;1\rbrace}\).
Awatar użytkownika
erina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 38 razy

System 1,5-owy

Post autor: erina »

Jasne, możesz sobie taki system zdefiniować na niecałkowitych "cyfrach", ale moim zdaniem to się mija z celem, całkowite są dużo wygodniejsze.

Chyba faktycznie pomyliłam się w liczeniu , ale ogólna idea jest taka, jak w "normalnym" systemie liczbowym - patrzymy, ile razy (w sensie: naturalną ilość razy) się mieści dana potęga bazy, zapisujemy to jako kolejną cyfrę, odejmujemy od bazy tyle razy potęgę, obniżamy potęgę. Przykład:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)w bazie 2:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} +\dots=[0.010101\dots]_2}\)
2 w bazie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) (tym razem może się nie pomylę ):
\(\displaystyle{ 2= 1+ \frac{2}{3} + \frac{8}{27}+\dots ?=[1.101\dots ? ]_{1,5}}\)

A to, co zacytowałeś poniżej to byłą dygresja, a nie odpowiedź na Twoje pytanie. Ogólnie - pytanie bardzo mi się spodobało, bo w tak rozumianym systemie o bazie \(\displaystyle{ 1,5}\) na przykład 2 wychodzi jako ułamek nieokresowy (albo z bardzo długim okresem, w każdym razie), co jest... ciekawe.

- moim zdaniem jest naturalna analogia, pytanie tylko, na ile da się z tym coś ciekawego zrobić.
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

System 1,5-owy

Post autor: matemix »

Qń pisze:Zdefiniuj obiekt o którym piszesz, w szczególności określ jakie liczby chciałbyś zapisywać w jakiś sposób związany z liczbą oraz określ co to za sposób.
Właściwie chcę zapisywać dowolne liczby rzeczywiste za pomocą tego systemu, tak jak w normalnym systemie pozycyjnym, czyli za pomocą metody "zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu (1,5). Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr lub liczb od strony lewej do prawej. W takiej konwencji zapisu, każda pozycja ma ściśle określoną i niezmienną wagę liczbową". No i chyba najlepiej będzie gdy sposób zapisywania owych liczb będzie odbywał się z wykrzystaniem możliwie najmniejszego zbioru liczb.
erina pisze:Przykład:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)w bazie 2:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} +\dots=[0.010101\dots]_2}\)
2 w bazie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) (tym razem może się nie pomylę ):
\(\displaystyle{ 2= 1+ \frac{2}{3} + \frac{8}{27}+\dots ?=[1.101\dots ? ]_{1,5}}\)
Tam wychodzi raczej 2,2. Moim zdaniem to powinno być tak:

\(\displaystyle{ [0.11111\dots]_{1,5}}\)

Wtedy mamy:

\(\displaystyle{ 2=0 \cdot 1,5^{0}+1 \cdot 1,5^{-1}+1 \cdot 1,5^{-2}+1 \cdot 1,5^{-3}+...}\)


Nad tym na ile da się z tym coś ciekawego zrobić dobiero pracuję. Jakkolwiek najpierw muszę coś podstawowego wiedzieć o tym systemie. Dowiedzieliśmy się np., że liczbę 2 mozna zapisać jako:

\(\displaystyle{ [0.11111\dots]_{1,5}}\)

lub np.:

\(\displaystyle{ 1\frac {1}{2}}\)


Tylko, że w systemie dwójkowym na przykład nie ma takiej dychotomii, każdą liczbę da się zapisać tylko w jeden niepowtarzalny sposób, tak też powinno być chyba w tym systemie.
Ostatnio zmieniony 7 maja 2010, o 11:01 przez matemix, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
erina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 38 razy

System 1,5-owy

Post autor: erina »

No tak, można też \(\displaystyle{ 2=[0.111\dots]_{1,5}}\), ale to jak \(\displaystyle{ 1=[0.999\dots]_{10}}\) - to nie jest ten zapis, który wychodzi przy najbardziej odruchowym algorytmie. Bo dajesz \(\displaystyle{ 0}\) na pozycji jedynek, chociaż \(\displaystyle{ 2>1}\).

edit:
Tylko, że w systemie dwójkowym na przykład nie ma takiej dychotomii, każdą liczbę da się zapisać tylko w jeden niepowtarzalny sposób, tak też powinno być chyba w tym systemie.
A \(\displaystyle{ [0.11111\dots]_2=[1]_2}\) ?
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

System 1,5-owy

Post autor: matemix »

erina pisze:No tak, można też \(\displaystyle{ 2=[0.111\dots]_{1,5}}\), ale to jak \(\displaystyle{ 1=[0.999\dots]_{10}}\) - to nie jest ten zapis, który wychodzi przy najbardziej odruchowym algorytmie. Bo dajesz \(\displaystyle{ 0}\) na pozycji jedynek, chociaż \(\displaystyle{ 2>1}\).

edit:
Tylko, że w systemie dwójkowym na przykład nie ma takiej dychotomii, każdą liczbę da się zapisać tylko w jeden niepowtarzalny sposób, tak też powinno być chyba w tym systemie.
A \(\displaystyle{ [0.11111\dots]_2=[1]_2}\) ?
No tak. Ale dla 1,5 liczbę 2 można zapisać jeszcze jako:

\(\displaystyle{ \frac {2}{3} 1}\) i \(\displaystyle{ 1 \frac {1}{2}}\)

Wydaje mi się, iż wynika z tego, że 1/2 lub 2/3 jest liczbą zbędną i do zapisu wszystkich liczb w systemie "jeden i półkowym" wystarczy tylko jedna z tych liczb.
Awatar użytkownika
erina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 38 razy

System 1,5-owy

Post autor: erina »

Z tym, że są zbędne się zgodzę - już pisałam, że wystarczy 0 i 1. A i tak niejednoznaczności będą, ale tego się nie uniknie.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

System 1,5-owy

Post autor: »

matemix pisze:
Qń pisze:Zdefiniuj
Właściwie chcę zapisywać dowolne liczby rzeczywiste za pomocą tego systemu, tak jak w normalnym systemie pozycyjnym, czyli za pomocą metody "zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu (1,5). Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr lub liczb od strony lewej do prawej. W takiej konwencji zapisu, każda pozycja ma ściśle określoną i niezmienną wagę liczbową". No i chyba najlepiej będzie gdy sposób zapisywania owych liczb będzie odbywał się z wykrzystaniem możliwie najmniejszego zbioru liczb.
Pozwoliłem sobie podkreślić kluczowe słowo. "Przybliżenie idei" to nie to samo co definicja.

Q.
Awatar użytkownika
erina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 38 razy

System 1,5-owy

Post autor: erina »

Przypuszczam, że autorowi wątku chodzi o takie wybranie dla danej podstawy \(\displaystyle{ p>1}\) pewnego zbioru liczb nieujemnych (które nazwiemy cyframi) \(\displaystyle{ A={a_0, \dots, a_n}}\), minimalnego co do liczby elementów (ja bym dodała wymaganie \(\displaystyle{ a_i\in\mathbb{N}}\)), żeby było możliwe przyporządkowanie każdej liczbie \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) takiego ciągu \(\displaystyle{ \{x_i\}_{i=- \infty }^k, x_i\in A, k\in \mathbb{Z}, x_k\neq 0}\), że

\(\displaystyle{ x= \sum_{i=k}^{- \infty } x_ip^i}\)
(ja bym dla jednoznaczności dodała, że ciąg \(\displaystyle{ {x_i}}\)jest maksymalny (w porządku leksykograficznym) w zbiorze wszystkich ciągów, spełniających ten warunek).

To chyba jest w miarę ścisłe? Dyskusja jest głównie o tym, jak sensownie wybrać \(\displaystyle{ A}\).
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

System 1,5-owy

Post autor: matemix »

erina pisze:Z tym, że są zbędne się zgodzę - już pisałam, że wystarczy 0 i 1
Skąd wiesz, że wystarczy 0 i 1? Jak za pomocą 0 i 1 zapisać np. liczbę 3?
Awatar użytkownika
erina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pruszków
Pomógł: 38 razy

System 1,5-owy

Post autor: erina »

Skąd wiem? Bo znam algorytm zapisu.

Dla \(\displaystyle{ x=3}\):
Najwyższa potęga bazy \(\displaystyle{ \le x}\): \(\displaystyle{ (1,5)^2=2,25}\), czyli na 2 pozycji przed przecinkiem piszemy 1.
\(\displaystyle{ x \rightarrow (x-2,25)}\) (w sensie - zmieniamy wartość \(\displaystyle{ x}\)-a w naszym algorytmie, nie w sensie strzałki od granicy)
\(\displaystyle{ x=0,75}\), najwyższa potęga: \(\displaystyle{ (1,5)^{-1}}\), czyli dopisujemy \(\displaystyle{ 1}\) na 1 miejsce po przecinku póki co nasz zapis to \(\displaystyle{ 100,1}\) i chwilowo nie wiemy, co dalej. \(\displaystyle{ x \rightarrow x- \frac{2}{3} = \frac{1}{12}}\)
Teraz szukamy potęgi bazy \(\displaystyle{ \le \frac{1}{12}}\) itd.

Zawsze znajdziemy taką potęgę (chyba, że w którymś momencie zostanie nam \(\displaystyle{ x=0}\), wtedy kończymy) i będzie ona mniejsza, niż poprzednia, bo jeśli
\(\displaystyle{ x\le (1,5)^k}\) to
\(\displaystyle{ x-(1,5)^k\le (1,5)^k (1,5-1)<(1,5)^k* \frac{2}{3} =(1,5)^{k-1}}\)
Różnica między początkowym \(\displaystyle{ x}\), a wartością naszej powstającej liczby w systemie \(\displaystyle{ 1,5}\) dąży do 0 (bo szacuje się przez kolejne malejące potęgi bazy), więc ułamek, który otrzymamy (zwykle nieskończony) jest równy naszemu startowemu \(\displaystyle{ x}\).

Może mętnie to opisałam, ale zasadniczo jest to taki sam algorytm jak przy bazie 2, i tak samo dowodzi się, że każdą liczbę da się zapisać. A dla bazy 2 na pewno da się to znaleźć opisane lepiej.
Tylko w "dziwnej" bazie niekoniecznie każda wymierna wyjdzie nam okresowa, a i całkowite na ogół będą miały coś po przecinku - to chyba główna różnica.
ODPOWIEDZ