Sprawdzić czy jest prawdą

[patryk007]

Sprawdzić czy dla każdego \(\displaystyle{ x,y,z \in \mathbb{R_{+} }}\) takiego, że
\(\displaystyle{ x+y+z=1}\)
zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ x^{3} + y^{3} + z^{3} \ge \frac{1}{3}}\)

[Qń]

Sprawdzić czy dla każdego \(\displaystyle{ x,y,z \in \mathbb{R_{+} }}\) takiego, że
\(\displaystyle{ x+y+z=1}\)
zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ x^{3} + y^{3} + z^{3} \ge \frac{1}{3}}\)

Nie, kontrprzykład to chociażby \(\displaystyle{ x=y=z=\frac{1}{3}}\).

Jesteś pewien, że chodzi o sumę trzecich potęg, a nie drugich?

Q.

[klaustrofob]

takie coś, w oparciu o nierówność Cauchy-Schwarza w formie Engela:
\(\displaystyle{ \frac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i}\le \sum\frac{a_i^2}{b_i}}\). kładąc \(\displaystyle{ b_i=a_i}\) oraz \(\displaystyle{ a_i=a_i^2}\) mamy \(\displaystyle{ \big\sum\frac{a_i^4}{a_i}\ge\frac{(\sum a_i^2)^2}{\sum a_i}\ge (\frac{1}{3}(\sum a_i)^2)^2=1/9}\).
ale to jest 1/9, a nie 1/3. do pytania Qńa dodam swoje: czy nie tak miało być?

[patryk007]

Ta, chodziło o sumę kwadratów więc dalej aktualne.
Ale za Cauchy'ego dzięki, przyda się.

_________
EDIT
czyżby nierówność średnich?

[klaustrofob]

suma kwadratów? \(\displaystyle{ 3(x^2+y^2+z^)\ge (x+y+z)^2}\). czyli prawda