Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami pierwszymi, takimi, że \(\displaystyle{ p \ge 5}\) i \(\displaystyle{ q-p=2}\), to liczba \(\displaystyle{ p+q}\) jest podzielna przez 12.
Dowód jest banalny
\(\displaystyle{ p=6n-1}\)
\(\displaystyle{ q=6n+1}\)
\(\displaystyle{ p+q=12n}\)
Ale, jak wiadomo, jest to prawda tylko dla niektórych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\). Nie jest to prawdą dla \(\displaystyle{ n}\) równego \(\displaystyle{ 4,6,8,9,11,13,14,16...}\)
I tu zaczyna się moje pytanie: jakie założenia zrobić dla liczby \(\displaystyle{ n}\). Czy to jest jakaś reguła? Czy to są całkiem przypadkowe liczby..? A może nie trzeba robić założeń? Proszę pilnie o pomoc.
dowód dla liczb pierwszych - problem z załozeniami
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
dowód dla liczb pierwszych - problem z załozeniami
Nie trzeba robić żadnych założeń - rozumowanie jest takie:
jeśli \(\displaystyle{ p,q}\) to liczby pierwsze różniące się o dwa, to obie muszą być nieparzyste i niepodzielne przez trzy, są więc postaci \(\displaystyle{ p=6n+1,q=6n-1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\).
Ty piszesz, że nie jest prawdą to, że jeśli są tej postaci, to są pierwsze. Istotnie nie jest, ale w rozumowaniu nigdzie czegoś takiego nie wykorzystujemy.
Q.
jeśli \(\displaystyle{ p,q}\) to liczby pierwsze różniące się o dwa, to obie muszą być nieparzyste i niepodzielne przez trzy, są więc postaci \(\displaystyle{ p=6n+1,q=6n-1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\).
Ty piszesz, że nie jest prawdą to, że jeśli są tej postaci, to są pierwsze. Istotnie nie jest, ale w rozumowaniu nigdzie czegoś takiego nie wykorzystujemy.
Q.