Wykaż, że liczba podniesiona do kwadratu...

[tometomek91]

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \underbrace{33...3^{2}}_{n+1 \ \text{cyfr}}=\underbrace{11...1}_{n \ \text{cyfr}}0 \underbrace{88...8}_{n \ \text{cyfr}}9}\)

[Artist]

\(\displaystyle{ 33333....=(\frac{10^{n+1}-1}{3})^{2}=\frac{10^{2n+2}-2\cdot 10^{n+1}+1}{9}=}\)


I teraz wystarczy dokończyc z tego.

Życzę powodzenia. Nie jest to chyba trudne

[smigol]

wg mnie łatwiej jest wyjść od prawej strony, ale jak kto woli )

[pipol]

\(\displaystyle{ \underbrace{ 33...3^2}_{n+1\text{-cyfr}} =(\frac{1}{3} \cdot (10^{n+1} -1))^2 =\frac{1}{9} (10^{2(n+1) } - 2\cdot 10^{n+1} +1 ) =\\ =\frac{1}{9} (10^{n+1} \cdot (10^{n+1} -2) +1)=\frac{1}{9} (10^{n+1}\cdot \underbrace{99...98}_{n+1\text{-cyfr}} +1)=\\ \frac{1}{9}(\underbrace{99...9}_{n\text{cyfr}} 8\underbrace{00..0}_{n+1 \text{-cyfr}} +1)=\frac{1}{9}\cdot (\underbrace{99...9}_{n\text{cyfr}} \underbrace{00..0}_{n+2 \text{-cyfr}} +8\underbrace{00...0}_{n\text{-cyfr}} 1 ) =\\ \underbrace{11...1}_{n\text{-cyfr}}\underbrace{00...0}_{n+2 \text{-cyfr}} +\underbrace{88...8}_{n\text{-cyfr}} 9}\)