Udowodnić, że a*b=a*c <=> b=c

[FortyTwo]

Jak elementarnie udowodnić takie prawo korzystając jedynie z faktu, że (R, +) - grupa abelowa?

\(\displaystyle{ (a*b=a*c) <=> b=c}\)

[dada]

\(\displaystyle{ a*b=a*c / a^{-1}* \Leftrightarrow a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c <=> (a^{-1}*a)*b=(a^{-1}*a)*c \Leftrightarrow e*b =e*c\Leftrightarrow b=c}\)
dla mnie abelowość tu nie ma znaczenia, korzystałam z definicji grupy (\(\displaystyle{ e}\) - element neutralny grupy, \(\displaystyle{ a^{-1}}\) element odwrotny do a) ale pewności nie mam

[Mikolaj9]

A czy tutaj, po pomnożeniu z lewej strony stronami przez \(\displaystyle{ a^{-1}}\)

\(\displaystyle{ a^{-1}*a*b=(a^{-1}*a)*b}\)

Nie korzystamy właśnie z abelowości tej grupy?

[dada]

tutaj korzystamy z łączności, "abelowość" to przemienność

[Zordon]

to się nazywa prawo skracania i jak widać, jest prawdziwe w dowolnej grupie

[FortyTwo]

Czy w takim razie w dowodzeniu można mnożyć obie strony równości przez liczbę?
Tego właśnie nie jestem pewna.
Tak naprawdę, do całego dowodu to potrzeba mi udowodnić to:

\(\displaystyle{ (\alpha \vec{x} - \alpha \vec{0} = \vec{0} ) \Rightarrow \vec{x} = \vec{0} , \alpha \in R, \vec{x} \in V}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ (\alpha \vec{x} = \alpha \vec{0}) \Rightarrow \vec{x} = \vec{0}}\)

Czy ten podany wyżej dowód wolno tu zastosować?