tw. liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy gdy

[agrafkaaaaa]

Witajcie. Mam mały problem z twierdzeniem:
Liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub nieskończenie okresowe.

chodzi mi o dowód =>
bez zmniejszania ogólności możemy rozpatrzeć 3 przypadki:
\(\displaystyle{ i) \frac{l}{m} = \frac{1}{m} , gdy (m, 10) = 1
ii) [\frac{l}{m}] gdy (m, 10) = 1
iii)[ \frac{l}{m}] gdy (m, 10) > 1}\)
pierwszy i drugi przypadek są udowodnione tak:
i) \(\displaystyle{ \frac{1}{m}
10^{fi(m)} \sim 1 (mod m) wtedy 10^{fi(m)} - 1 = m*s, s jest co najwyżej fi(m) cyfrowa, fi(m) - funkcja Eulera}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{m} = \frac {s}{10^{fi(m)}-1} = \frac{1}{10^{fi(m)}}*\frac{s}{1- \frac{1}{10^{fi(m)}}} = \frac{1}{10^{fi(m)}}* s,...s...s... = 0,...s...s...s]}\)mamy ułamek okresowy.
punkt ii) robi się podobnie bo \(\displaystyle{ [\frac{l}{m} = \frac{1}{m} * l]}\)
nie wiem z kolei jak zrobić iii) czy móglby mi ktoś pomóc?