Liczby pierwsze

[Kukis]

Suma trzech liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od iloczynu tych liczb. Wyznacz te liczby pierwsze.

[mkb]

Jedna z tych liczb musi być równa 11. Suma wszystkich trzech jest równa iloczynowi dwóch pozostałych. Dalej chyba metodą prób i błędów, pasują 3 i 7.

[JakimPL]

\(\displaystyle{ 11(a + b + c) = abc}\)

Iloczyn liczb pierwszych \(\displaystyle{ abc}\) ma 5 dzielników: \(\displaystyle{ 1, a, b, c, abc}\). Liczby \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ 11}\) są względnie pierwsze, zatem jedna z tych trzech liczb musi wynosić \(\displaystyle{ 11}\). To sprowadza równanie do takiej postaci:

\(\displaystyle{ 11(11 + a + b) = 11ab}\)

\(\displaystyle{ 11 + a + b = ab}\)

\(\displaystyle{ 11 + a = b(a - 1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{11 + a}{a - 1} = b}\)

\(\displaystyle{ \frac{12 + a - 1}{a - 1} = b}\)

\(\displaystyle{ 1 + \frac{12}{a - 1} = b}\)

Teraz wystarczy znaleźć taką liczbę pierwszą \(\displaystyle{ a}\), dla której \(\displaystyle{ \frac{12}{a - 1}}\) jest całkowite. Tylko para \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 7}\) spełnia to równanie w zbiorze liczb pierwszych.

[Kukis]

Dzięki.

[mkb]

Kontynuując mój wątek:
Mamy:
\(\displaystyle{ (a+b+11)=ab}\)
lub po drobnych przekształceniach:
\(\displaystyle{ (a-1)(b-1)=12}\)
a i b są pierwsze, pomniejszone o 1 będą liczbami parzystymi albo parzystą i nieparzystą (tylko jeżeli a=2). Możliwe liczby:
1) 2*6=12, czyli a=3 i b=7,
2) 1*12=12, czyli a=2 i b=13.
W obu przypadkach c=11.