(5 zadań) Trudne zadania z rosyjskiego zbioru zadań

[qkiz]

Mam problemy z rozwiązaniem kilku zadań. Prosze o pomoc:
1) Pokaż że liczba 22...23 } 1986cyfr jest liczbą złożoną
2)Suma 3-ech N liczb jest większa od ich iloczynu a suma 2-óch z tych liczb jest równa 33. Znajdź te liczby
3)Pokaż, że suma kwadratów 2-óch nieparzystych liczb nie jest kwadratem liczby całkowitej
4)Znajdź wszystkie naturalne liczbyt n o takiej własności że suma 1+2+3+...+n rzy dzieleniu przez 5 daje resztę 1

I to narazie tyle

[SoD]

(2n+1)^2 + (2k+1)^2 = p^2 - założenie

4n(n+1) + 4k(k+1) + 2 = p^2

lewa parzysta wiec aby p^2 było parzyste to p musi być parzyste wiec
p = 2x

4n(n+1) + 4k(k+1) + 2 = 4x^2

sprzeczność gdyż prawa podzielna przez 4 a lewa nie! KONIEC!

[Megus]

4) skorzystaj z tego, ze 1+2...+n = n(n+1)/2 - rozwaz n modulo 5

[_el_doopa]

ad 2
a, b, c e N
a+b = 33
a+b+c> a * b * c

z ostatniego warunku mamy a=1 v b=1 v c=1
dowod zalozmy przeciwnie :
a+b+c c
c = 1

b= 1 analogicznie

c=1 otrzymujemy
34 > a*b
a+b = 33
czyli
34 > 33*a - a^2

skad wynika
a = 1 v a = 32


podsumowanie a,b,c = (1, 32, 1 ) no i permutacje

[gnicz]

qkiz: mozesz podac tytul oraz autorow tego zbioru? Fajne zadania.

Pozdrawiam, GNicz

[12]

Ad 1.
Podpowiem tylko, ze liczba 22......223 }1986cyfr dzieli sie przez 19, a czemu, to zostawiam do zastanowienia...

[qkiz]

Zbiór zadań nie wiem jak sie nazywa bo nie umiem po rosyjsku. A te zadania mi wybierał dr matematyki do którego chodze na korki. A tak w ogóle to ten zbiór zadań jest z 1960 roku.

[gnicz]

Jesli moglbys sie dowiedziec o ewentualna polska nazwe bylbym bardzo wdzieczny. Nie waze z ktorego roku - wiele podrecznikow byla pisana przed kilkunastu laty, a nadal jest w uzyciu. Sam mam stary zbior zadan z fizyki, ktory mimo wieku jest wrecz genialny. Warto dodac ze zbior ten jest takze rosyjski. Rosjanie wymyslali bardzo ciekawe zadania.

Pozdrawiam, GNicz

[qkiz]

oki sie dowiem