Cechy podzielności przez 7 i 51

[Tristan]

1) Wykorzystując kongruencje: \(\displaystyle{ 10 \equiv 3 ( mod\ 7), 100 \equiv -2 ( mod\ 51)}\) wyprowadź cechy podzielności przez 7 oraz 51.
2) Wykazać, że \(\displaystyle{ 7 | 100a+10b +c 7 | a+4(10b+c)}\) dla każdych całkowitych a,b,c. Wykorzystując tą równoważność sformułuj cechę podzielności przez 7.

[sushi]

\(\displaystyle{ 7 | 100a+10b +c 100a+10b \equiv -c (mod \7)}\)
\(\displaystyle{ 100a+10b \equiv -c (mod \7) 2a+10b \equiv -c (mod \7)}\)
\(\displaystyle{ 2a+10b \equiv -c (mod \7) 4(2a+10b) \equiv 4(-c) (mod \7)}\)
\(\displaystyle{ 8a+40b \equiv -4c (mod \7) a+40b \equiv -4c (mod \7)}\)
\(\displaystyle{ a+40b \equiv -4c (mod \7) 7| a+40b +4c (mod \7)}\)

[Lorek]

1. Chyba o to chodzi
\(\displaystyle{ \large 10\equiv 3\pmod 7\\10^n\equiv 3^n\pmod 7\\a\cdot 10^n\equiv a\cdot3^n\pmod 7\\a_n\cdot 10^n+ a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+...+a_0\equiv a_n\cdot 3^n + a_{n-1}\cdot3^{n-1} +...+a_0\pmod 7}\)
z tym 2 podobnie

[Tristan]

Jakoś nie widzę tej podzielności... Czy w ostatniej linijce po prawej stronie kongruencji nie powinno być czasem kropeczek ? A jeśli być powinny - to jak brzmiałaby ta cecha podzielności?

[Lorek]

No powinny być zaraz to zmienię, a cecha podzielności:

Liczba jest podzielna przez 7, jeśli suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3 (włącznie z potęgą zerową) jest podzielna przez 7

(z wikipedii)

[Tristan]

Rozumiem, dzięki

[sushi]

liczba jest podzielna przez 7 gdy różnica między liczbą wyrażoną kolejnymi trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie ) dzieli się przez 7