Więc tak. Nie wydaje mi się, żeby dało się jakoś rozłożyć to równanie, ale pewnie jestem w błędzie.Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) takie, że liczby \(\displaystyle{ a=2^{n}+1}\),\(\displaystyle{ b=2^{n}-1}\) są liczbami pierwszymi.
Dla n = 0, żadna liczba nie jest liczbą pierwszą.
Dla n = 1, druga liczba jest liczbą pierwszą.
Dla n = 2, obydwie liczby są liczbami pierwszymi więc ok.
Teraz rozum mówi mi, że nie ma już takiego n dla, którego spełnione byłyby warunki zadania. Ale trzeba to jakoś zapiać, jak?
Kombinowałem tak:
Dla \(\displaystyle{ n > 2, n = 2k}\) lub \(\displaystyle{ n = 2k + 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in Z}\)
Ale nie można wykazać, że dane równanie będzie złożone, co w sumie jest logiczne bo nie zawsze jest.
Zacząłem więc lecieć po kolei z wartościami dla k, ale uznałem, że to nic nie da, bo przecież skąd mam wiedzieć czy dla k = 200 któreś z równań da liczbę pierwszą. Któreś dać może, ale oby dwa nie. Nie wiem jak to uzasadnić.
Póki co moja odpowiedź brzmi następująco:
Nie ma takiej pary dla n > 2, ponieważ, między liczbami a i b jest różnica równa 2, oraz nie ma takich liczb pierwszych większych od 5 dla których zachodzi \(\displaystyle{ x=y-2}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in Z}\).
Nie sądzę jednak, żeby taka odpowiedź była satysfakcjonująca dla sprawdzającego.
Zauważyłem ponad to, że \(\displaystyle{ (2^{n}-1)+(2^{n}+1)=2^{n+1}}\), ale nie wiem, czy coś mi to daje, w dodatku nie doszedłem do tego w żaden radykalny sposób
Proszę o pomoc.
