Wykazać, że spełniona jest nierówność: \(\displaystyle{ \frac{1}{15}< \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot...\cdot \frac{99}{100}< \frac{1}{10}}\)
I zabrałem się za to tak:
Przyjmuję sobie: \(\displaystyle{ y= \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot...\cdot \frac{100}{101}}\)
oraz \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot...\cdot \frac{99}{100}}\)
Przez porównanie odpowiednich czynników iloczynów \(\displaystyle{ \frac{2}{3}> \frac{1}{2}}\) itd... widzimy, że \(\displaystyle{ y>x}\).
Zatem mamy: \(\displaystyle{ x ^{2} < x\cdot y \Rightarrow x^{2} < \frac{1}{101} \Rightarrow x< \frac{1}{10}}\)
Nie wiem jednak jak zrobić drugą część zadania tzn: wykazać, że: \(\displaystyle{ \frac{1}{15}< \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot...\cdot \frac{99}{100}}\)
Ma ktoś jakis pomysł?